Questions sur les $\limsup$ et $\liminf$ d'une suite d'ensembles
Bonjour à tous
Je suis en train d'étudier le lemme de Borel-Cantelli et j'essaye de clarifier les notions de liminf et de limsup pour une suite d'ensembles (A_n), où n > 0.
J'ai bien vu les définitions sur Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_supérieure_et_limite_inférieure mais je trouve cette définition assez peu intuitive. De plus je n'ai trouvé que très peu de ressources intéressantes sur ces notions. D'où mes questions :
1) Soit X un ensemble. Avez-vous des exemples de suites de parties de X avec leur liminf et leur limsup associés (de préférence où liminf est différent de limsup) ?
2) J'ai essayé de travailler sur les propriétés reliant liminf, limsup, lim, et une suite d'ensembles quelconques (dé)croissante et voici les résultats que j'ai trouvé :
- liminf(A_n) ⊆ limsup(A_n)
- Si lim (A_n) = ø alors limsup (A_n) = liminf(A_n) = ø
- Plus généralement, pour (A_n) une suite d’événements bornée tel que lim (A_n) = B où B ⊆ X, on a limsup (A_n) = liminf (A_n) = B
- Soit (A_n) une suite d’événements croissante, alors limsup A_n = lim A_n = liminf A_n = "la réunion des A_n pour n>0"
- Soit (A_n) une suite d’événements décroissante, alors limsup A_n = lim A_n = liminf A_n = "l'intersection des A_n pour n>0"
Pouvez-vous me confirmer la véracité de ces affirmations ?
Merci d'avance pour votre aide ! (j'espère ne pas dire trop de bêtises )
Merci d'avance pour votre aide ! (j'espère ne pas dire trop de bêtises )
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Réponses
Voici un petit problème si tu veux consolider ta pratique sur le sujet.
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_01_parties_convergentes.pdf
2. Si $A_{n+1} \subseteq A_n $ ,la limite signifie l'intersection.