Matrice jacobienne et fonction C1
Bonsoir à tous ,
S'il vous plaît comment montrer que une fonction est C1 à l'aide de sa matrice jacobienne ?
Merci d'avance pour vos aides.
S'il vous plaît comment montrer que une fonction est C1 à l'aide de sa matrice jacobienne ?
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Réponses
Et donc l'existence de la matrice jacobienne associée suffit de dire qu'elle est C1 ??
A propos de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, je vous propose $\phi:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x+y^2,y)$. C'est même un difféormorphisme dont l'effet sur les cercles est intéressant :
Pour l'aviation
Merci.
Je te propose de regarder l'exemple que j'ai fourni : $\phi:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x+y^2,y)$. C'est une application très commode de $\R^2$ dans $\R^2$ qui a l'avantage, contrairement par exemple au superbe exemple fourni par @Positif d'être définie sur $\R^2$ tout entier.
Je confonds jacobien et matrice jacobienne. On a $\text{Jac}(\phi)(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Si tu inverses cette dernière matrice, sans te poser plus de question que cela, tu obtient $\begin{pmatrix} 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$\phi$ est vraiment très commode : si l'on calcule, même formellement, sur les relations $x'=x+y^2$ et $y'=y$, on obtient aisément $y=y'$ puis $x=x'-y'^2$. On a ainsi l'expression de $\phi^{-1}:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x-y^2,y)$, presque la même expression, au signe $-$ près que celle de $\phi$.
On peut alors s'amuser à en déterminer la matrice jacobienne : $$\text{Jac}(\phi^{-1})(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} 1 & -2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$Que venons-nous de faire ?
Nous venons d'illustrer le fait que :$$\text{Jac}(F^{-1})=(\text{Jac}(F))^{-1}$$ à chaque fois que ces écritures ont du sens.
À quoi tout ceci sert-il ?
Si tu reprends l'illustration que j'ai fournie et que tu inverses les rôles de $\phi$ et de $\phi^{-1}$, la matrice jacobienne permet de calculer des tangentes aux drôles de courbes à droite. Le résultat précédent montre que ce sont tout simplement les transformées des tangentes aux cercles, qui sont eux-mêmes les transformés des "drôles de courbes". L'expression paramétrée des drôles de courbes paraît compliquée. En réalité, pas tant que ça : ce sont simplement des variétés de dimension 1, je crois, mais ceci est une autre histoire...
Cordialement.