Matrice nilpotente samedi 13 août

etanche · August 2022

Bonjour

$A \in M_n(C)$ et $B \in GL_n(C)$ avec $AB=BA$ et pour tout $z \in U$ on a $\det(A+zB) \in U$.
Montrer que $ A $ est nilpotente.
$U$ est l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Merci.

JLT · August 2022

Revient à montrer que $C=B^{-1}A$ est nilpotente sachant que $|\mathrm{det}(C+zI)|^2$ est constant lorsque $z\in U$. Soient $c_i$ les valeurs propres et $K$ cette constante, alors $K=\prod(z+c_i)(\overline{z}+\overline{c_i})$ donc $Kz^n=\prod(z+c_i)(\overline{c_i}z+1)$ pour tout $z\in U$. Les polynômes $KX^n$ et $\prod(X+c_i)(\overline{c_i}X+1)$ coïncident sur un ensemble infini donc sont égaux. En évaluant en $-c_i$ on obtient que $c_i=0$ pour tout $i$ donc $C$ est nilpotente.

etanche · August 2022

@ JLT solution limpide. Je me demande si on peut s’en sortir aussi avec $A,B$ simultanément trigonalisable dans $M_n(C)$ ?

JLapin · August 2022

Oui, on peut.

Cela revient essentiellement à connaitre les polynômes $P\in \C[X]$ qui vérifient $P(\mathbb U)\subset \mathbb U$ et à appliquer ce résultat à $\det(A+XB)$.

Tu devrais pouvoir trouver cet exercice sur les polynômes sur le net à défaut d'essayer de le faire toi-même.

https://www.google.com/search?q=polynômes+qui+stabilisent+U

JLT · August 2022

Même méthode (toujours en supposant $B$ inversible). Avec des notations évidentes, $X^n=\prod (a_i+Xb_i)(\overline{a_i}X+\overline{b_i})$, et on évalue en $-\frac{a_i}{b_i}$ pour conclure que $a_i=0$ pour tout $i$.

Homo Topi · August 2022

JLT a dit :

sachant que $|\mathrm{det}(C+zI)|^2$ est constant lorsque $z\in U$

Preuve ? C'est trop pointu pour être annoncé comme une trivialité, je trouve.

JLapin · August 2022

A quelle étape bloques-tu ?

JLT · August 2022

Ca découle de l'hypothèse de l'énoncé. $1=|\mathrm{det}(A+zB)|=|\mathrm{det}(B)|\times|\mathrm{det}(C+zI)|$.

Homo Topi · August 2022

Je pense que je bloque dans la non-quantification de l'énoncé de départ. Je dois lire ça comme "soit $A$ telle que pour toute $B$ [...]" ? Si oui alors je suis d'accord, sinon, l'énoncé est mal foutu. Si le quantificateur sur $B$ n'est qu'un $\exists$ alors je proteste.

JLapin · August 2022

L'énoncé fixe $A$ et $B$.
Tu trouves quoi à redire à ce que propose JLT juste au dessus de ton message ?
Quand on parle de "constant" c'est par rapport à la variable $z$.

Homo Topi · August 2022

D'accord. Le produit d'une matrice nilpotente par une matrice inversible est nilpotent ? Si c'est un résultat standard je n'en ai jamais entendu parler. Si c'est ça l'argument de JLT, dites juste "oui", ne me donnez pas de preuve. Je veux faire ça moi-même (si c'est bien ça l'argument).

JLT · August 2022

Non, je dis que si $M$ est une matrice et $N$ est une matrice nilpotente qui commute avec $M$ alors $MN$ est nilpotente. L'hypothèse de commutation est nécessaire.