Exercice X 2021

JLT · August 2022

Je crois qu'on peut généraliser ainsi mais je n'ai pas vérifié tous les détails. Soit $P\in\Z[X]$ un polynôme qui n'est pas un carré dans $\Z[X]$. Alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $P(n)$ ne soit pas un carré.

MrJ · August 2022

Il me semble que l’on peut démontrer la contraposée en introduisant l’opérateur de la dérivation discrète $\Delta : \Q^\N\to\Q^\N$ définie par $\Delta:(u_n)_{n\in\N} \mapsto (u_{n+1} - u_n)_{n\in\N}$. On peut se restreindre au cas où le coefficient dominant de $P$ est positif (le résultat est immédiat dans le cas contraire). On considère la suite $u_n = \sqrt{P(n)}$ et on note $d$ le degré du polynôme $P$.

Si on pose $k=\lfloor d/2 \rfloor$, alors la suite $\Delta^{k+1} u$ converge vers $0$. Comme c’est une suite d’entiers, on en déduit que $\Delta^{k+1} u$ est nulle à partir d’un certain rang $N\in\N$, puis (par les propriétés classiques de $\Delta$) qu’il existe un polynôme $Q\in\Q_{k}[X]$ tel que $(u_n)_{n\geq N}$ est de la forme $(Q(n))_{n\geq N}$. On obtient ensuite que $P=Q^2$ car les polynômes $P$ et $Q^2$ coïncident sur une infinité de points.

Finalement, comme $P=Q^2\in\Z[X]$ et $Q\in\Q[X]$, on a nécessairement que $Q\in\Z[X]$.

Exercice X 2021

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