Une petite question concernant deux points sur un cercle

% Jelobreuil - 13 Août 2022 - Une petite question concernant deux points sur un cercle

% Soit un triangle ABC, H son orthocentre. 
% Le cercle C1 de diamètre BC recoupe les côtés AB et AC en Hc et Hb 
% respectivement, les pieds des hauteurs issues de C et de B. 
% Le cercle C2 de centre B et de rayon BHc recoupe C1 en P, 
% le cercle C3 de centre C de rayon CHb le recoupe en Q. 
% Les droites AP et AQ recoupent respectivement C2 en R et C3 en S.

% Pourquoi ces deux derniers points appartiennent-ils au cercle de diamètre AH ?

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clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

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h=s1; hB=s1B; % Orthocentre

m=(b+c)/2; mB=(bB+cB)/2; % Milieu M de [BC]

hb=(s1*b-c*a)/(2*b); hc=(s1*c-a*b)/(2*c); % Pieds de deux hauteurs
hbB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB); hcB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB);

syms p % Point P deuxième intersection de deux cercles 

[pax qax rax]=AxeRadical(m,mB,(b-m)*(bB-mB),b,bB,(hc-b)*(hcB-bB));
pB=-(pax*p+rax)/qax;
NulP=Factor((p-m)*(pB-mB)-(b-m)*(bB-mB));

% On trouve:
p = (a*b+a*c-b*c+c^2)/(2*a); pB = (aB*bB+aB*cB-bB*cB+cB^2)/(2*aB);

% De même:
q = (a*c+a*b-c*b+b^2)/(2*a); qB = (aB*cB+aB*bB-cB*bB+bB^2)/(2*aB);

[pap qap rap]=DroiteDeuxPoints(a,p,aB,pB); % Droite (AP)

syms r % Point R où (AP) recoupe C_2

rB=-(pap*r+rap)/qap; % R est sur (AP)
NulR=Factor((r-b)*(rB-bB)-(p-b)*(pB-bB)); % P sur C_2 donc BR=BP
NulR=numden(Factor(NulR/(r-p)));
polR=coeffs(NulR,r,'All');
r=Factor(-polR(2)/polR(1));

% On trouve:

r = (2*a^2*b - 2*a^2*c + a*b^2 + 2*a*b*c - 3*a*c^2 + 3*b^2*c' + 2*b*c^2 - c^3)/(2*(a*b - a*c + 2*b*c));

rB=-(pap*r+rap)/qap;
Nul=Factor((r-a)*(rB-hB)+(r-h)*(rB-aB)) 

% Égal à 0, donc (AR) et (HR) sont orthogonales. Idem pour (AS) et (HS).