$f’’(c)$ à trouver samedi 13 août

Bonsoir;

soit $T:=\{(x,y) \in \R^2 \mid x>y\}$. L' applications $g:(x,y) \in T \mapsto \frac {f(x-f(y))}{x-y}$ est continue et définie sur une partie connexe de $\R$ (resp. $\R^2$). Son image $im(g)$ est donc un intervalle et $im(f')$ est contenu dans l'adhérence de cette image (*). Puisque $f'(c)\notin im(g)$, $f'(c)$ est alors la borne supérieure de $im(g)$ (ou sa borne inférieure; sans perdre de généralité on va supposer que c'est la supérieure, quitte à remplacer $f$ par $-f$ ...) et on a également $f'(x) \leq f'(c)$ pour tout $x\in \R$ d'après (*).  Donc $f''(c)=0$ puisque $c$ est un maximum de $f$.