Une curieuse relation

% Jean-Louis Ayme - 12 Août 2022 - Une curieuse relation

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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

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A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; % Centre du cercle circonscrit 
I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit

MedAI=MediatriceBary(A,I,a,b,c); % Médiatrice de [AI]
MedAI=SimplifieBary(MedAI) % On trouve [b*c, -c*(a + c), -b*(a + b)]

AO=SimplifieBary(Wedge(A,O)); % Droite (AO)
% On trouve AO=[0, -c^2*(a^2 + b^2 - c^2), b^2*(a^2 - b^2 + c^2)]

% Point d'intersection X de la médiatrice de [AI] et (AO)
X=SimplifieBary(Wedge(MedAI,AO)); 
% X=[-a*(a^2*b+a^2*c+2*a*b*c-b^3+b^2*c+b*c^2-c^3); -b^2*(a^2-b^2+c^2); -c^2*(a^2+b^2-c^2)]
 
% Carrés de distances XA^2 et XO^2
XA2=Distance2(X,A,a,b,c); XO2=Distance2(X,O,a,b,c);

Rapport2=Factor(XA2/XO2) % Carré du rapport XA/XO

% On trouve Rapport2=(b - a + c)^2/a^2 ce qui répond à la question