Autres formulations de théorème de Brouwer

Besma bissan
Besma bissan
Modifié (August 2022) dans Analyse
Le théorème de Brouwer à plusieurs formulations.
1- $f$ définie sur la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même. $f$ continue alors $f$ possède un point fixe.
2- $f$ définie et continue sur une partie convexe compacte non vide de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même alors $f$ possède un point fixe.
3- $f$ définie et continue sur une partie convexe compacte non vide d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même alors $f$ possède un point fixe.
La formulation 1 est démontrée en utilisant le produit scalaire de $\mathbb{R}^n$ c'est-à-dire on prend $(\mathbb{R}^n,\ <,>,\ || ||)$ comme un espace de Hilbert (prehilbert plus précisément car il n'utilise pas la notion de complétude). Mais dans la formulation 3 il prend juste un espace vectoriel de dimension finie pourquoi ?  Et comment je peux le déduire (la nouvelle formulation) ? 
Aussi,  le théorème  de Schauder consiste à un espace de Banach et pas un Hilbert. Pourquoi ? Et qu'elle est la formulation la plus générale entre eux ? 
Finalement, existe-t-il d'autres formulations pour ce théorème ?
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Réponses

  • Bibix
    Bibix
    Tout espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à $\mathbb{R}^n$ avec $n$ la dimension de l'espace en question, d'où la formulation $3$.
    Pour démontrer Brouwer, on n'a pas forcément besoin d'un produit scalaire. D'où la généralisation de Shauder à tout espace vectoriel topologique complètement métrisable, et donc en particulier à des espaces de Banach ce qui est une version beaucoup plus générale. L'important, c'est la complétude.
  • Foys
    Foys
    Modifié (August 2022)
    Un énoncé équivalent à Brouwer et simple à formuler est le lemme de non rétraction : quel que soit l'entier $n$, il n'existe aucune fonction continue de $B_n$ dans $S_n$ telle que $f(x) = x$ pour tout $x\in S_n$, où $B_n$ (resp. $S_n$) désigne l'ensemble $\{x\in \R^n\mid  \|x\| \leq 1\}$ (resp. $\{x\in \R^n\mid \|x\| = 1\}$) et où $\|.\|$ désigne la norme euclidienne sur $\R^n$.
    Dans certains ouvrages, le théorème de Brouwer est démontré sous cette forme avec des outils homologiques.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • math2
    math2
    Modifié (August 2022)
    J'avais suivi un cours de point fixe sur les correspondances, et j'ai vaguement le souvenir qu'il y avait des kilos de résultats plus ou moins équivalents à Brouwer, peut-être le lemme des 3 polonais (je ne sais plus ce que c'est), Borsuk-Ulam, ...
    Mais ça date d'il y a plus de 25 ans, je n'ai pas lu le Granas  Dugundji ni le Handbook de S. Hu chez Kluwer depuis des lustres, ma mémoire est sans doute défaillante.
  • math2
    math2
    Je me demande d'ailleurs si le théorème de Kakutani, dont Brouwer est une conséquence triviale, ne lui est pas équivalent.
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