Autres formulations de théorème de Brouwer
Le théorème de Brouwer à plusieurs formulations.
1- $f$ définie sur la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même. $f$ continue alors $f$ possède un point fixe.
2- $f$ définie et continue sur une partie convexe compacte non vide de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même alors $f$ possède un point fixe.
3- $f$ définie et continue sur une partie convexe compacte non vide d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même alors $f$ possède un point fixe.
La formulation 1 est démontrée en utilisant le produit scalaire de $\mathbb{R}^n$ c'est-à-dire on prend $(\mathbb{R}^n,\ <,>,\ || ||)$ comme un espace de Hilbert (prehilbert plus précisément car il n'utilise pas la notion de complétude). Mais dans la formulation 3 il prend juste un espace vectoriel de dimension finie pourquoi ? Et comment je peux le déduire (la nouvelle formulation) ?
Aussi, le théorème de Schauder consiste à un espace de Banach et pas un Hilbert. Pourquoi ? Et qu'elle est la formulation la plus générale entre eux ?
Finalement, existe-t-il d'autres formulations pour ce théorème ?
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Réponses
Pour démontrer Brouwer, on n'a pas forcément besoin d'un produit scalaire. D'où la généralisation de Shauder à tout espace vectoriel topologique complètement métrisable, et donc en particulier à des espaces de Banach ce qui est une version beaucoup plus générale. L'important, c'est la complétude.
Dans certains ouvrages, le théorème de Brouwer est démontré sous cette forme avec des outils homologiques.