Valeurs propres de la comatrice

On considère $ A + tI $ pour $t$ réel.

Comme $\mathrm{Sp(-A)}$ est fini, pour $t$ non nul au voisinnage de $0$, $\mathrm{det}(A+tI) \neq 0$ et $A + tI$ est inversible. 

Pour un tel $t$, on a ${}^t\mathrm{Com}(A+tI)(A+tI) = \mathrm{det}(A+tI) I $ 

soit $ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =\mathrm{det}(A+tI)\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1}) $

Or, en trigonalisant $A$ (on peut toujours dans $\mathbb C$, et si les $a_1,...,a_n$ sont réels, on peut même dans $\mathbb R$ car $\chi_A$ sera scindé dans $\mathbb R$, mais ce n'est pas précisé dans l'énoncé), $A = PTP^{-1}$ ($T,P\in ...$) donne $ A + tI = P(T+tI)P^{-1} $ puis $ (A + tI)^{-1} = P(T+tI)^{-1}P^{-1} $, et donc 

$\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1})$ = $\mathrm{Tr}((T+tI)^{-1})$ = $ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k + t} = \frac{1}{t} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k + t}$

d'une part, et 

$\mathrm{det}(A+tI) = \mathrm{det}(T+tI) = \prod\limits_{k=1}^n(a_k + t) = t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)$.

On en déduit $$ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =  \frac{1}{t} \cdot t  \prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t) + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \bigg( \frac{t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)}{a_k + t} \bigg) $$

Le passage à la limite $ t\to 0$ donne $$\mathrm{Tr}(\mathrm{Com}A) = \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k$$

Conclusion : Zéro est valeur propre de $\mathrm{Com}A$ car $A$ n'est pas inversible donc $\mathrm{Com}A$ non plus. 

$ A $ est de rang $n-1$ (en effet, $ 1 \leqslant \mathrm{dim Ker} A $ car 0 est valeur propre et $\mathrm{dim Ker} A \leqslant m_0$ où $m_0$ est la multiplicité de $0$ en tant que racine de $\chi_A$, qui vaut $1$ car $a_n = 0$ et les autre $a_k$ sont non nuls). Par un exercice classique, $\mathrm{Com} A $ est de rang 1. Cela signifie que $\mathrm{dimKerCom} A = n-1$ et donc que $0$ est valeur propre d'ordre au moins $n-1$ de $\mathrm{Com}A$.

La trace étant la somme des valeurs propres (répétées avec multiplicité), $ \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k \neq 0$ est l'autre valeur propre (distincte de la précédente) de $\mathrm{Com} A$.$\blacksquare$

Il y a une autre méthode : il s'avère que si $\lambda_1,...,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, on a $$ \chi_{\mathrm{ComA}} = (X - \lambda_1...\lambda_{n-1})(X - \lambda_1...\lambda_{n-2}\lambda_n)...(X - \lambda_2...\lambda_n) $$ autrement dit les valeurs propres de la $\mathrm{Com}A$ sont toujours les produit des valeurs propres de $A$ sauf une. 

On peut le montrer en calculant $\det(xI - \mathrm{Com}A)$ ou en considérant la dérivée de $\chi_A$ en zéro, d'une part en dérivant le produit des $X - \lambda_i$ et d'autre part avec la formule de dérivation du déterminant (avec les dérivées des colonnes).