Table de multiplication de 9

yan2 · August 2022

Bonjour,

à l'école élémentaire on nous avait fait remarquer que dans la table de neuf : $9,18,27,36,45,54,63,72,81$ la somme des chiffres est toujours la même, égale à 9. D'où la question naturelle : quels sont les entiers $n\geq 2$ tels que $S(n)=S(2n)=S(3n)=\cdots=S(n^2)$ où $S(n)$ désigne la somme des chiffres de $n$ (écrit en base 10). En cherchant un peu je trouve que ce sont tous les $10^k-1$ où $k\in{\mathbb N}^*$. Ma preuve s'est faite en plusieurs étapes.

(1) Soit $1\leq n\leq 10^m-1$ un entier, alors $S(n\cdot(10^m-1))=9m$.

(2) Si $S(n)=S(2n)$, alors $9 \mid n$.

(3) Si $S(n)=S(2n)=\dots=S(n^2)$ alors $n=10^m-1$.

Je me demande si vous connaissez une méthode, ou une approche, plus simple (plus directe, plus esthétique, etc.)

Merci.

stfj · August 2022

salut,
Moi, j'connais pas. Mais l'exo est marrant. J'ai examiné le cas $k=2$ : en fait, j'ai fait que $(9:9) \mapsto 18$, $2 \times 99=(1:9:8) \mapsto 18$ et $3 \times 99=3 \times 99=(2:9:7) \mapsto 18$; ces notations nous seront peut-être utiles pour avancer...
Vraiment intéressant. Comme je suis du type bourrin, je me suis dit que j'allais envisager tous les cas. En commençant par k=0. Le seul qui marche est effectivement 9. Le problème du nombre de cas à considérer se pose dès k=1. Alors, je me suis dit : et en base trois? Prenons le cas du seul nombre à envisager à un seul chiffre 2=(2)...$1\times2=2=(2) \mapsto 2; 2 \times2=4=(1:1) \mapsto 2$ Tiens, ça marche comme pour la base dix, on dirait...
Reprenons alors la preuve : par exemple le point (2) : supposons que $S(n)=S(2n)$. On a $n=S(n)[b-1]$ et $2n=S(2n)[b-1]$. Donc $n=2n[b-1]$ et $n=0[b-1]$. Autrement écrit $b-1|n$. Il semblerait bien que tout ceci ne soit pas lié à la base dix et que pour rendre la preuve plus élégante et mieux faire ressortir les idées, il faudrait l'établir dans n'importe quelle base b.

stfj · August 2022

Soit donc $b\geq 2$ notre base b. Si j'arrive à suivre ce que tu as "cherché un peu", t'as dû écrire des petits trucs rigolos du genre $2(b-1)=2b-2=b+b-2=(1:b-2)$ au début de tes petites recherches perso puis $(b-1)b^{m-1}+b^{m-1}-1=b^m-1$ d'où tu as déduit que $b^m-1=(b-1:b-1:...:b-1)$. Arrivé là au cours de tes "petites recherches", tu as dû te dire que tu retrouvais tout seul avec tes petits bras

les grands principes de la numération qui ont nécessité des dizaines de milliers d'année pour être dégagés. Chapeau bas ! bravo. Alors tu t'es lancé courageusement dans l'explicitation de $2(b^m-1)=[2(b-1):2(b-1):...:2(b-1)]$. Là t'as pigé le coup des retenues grâce à ta petite réflexion $2(b-1)=2b-2=b+b-2=(1:b-2)$ du départ. Pour obtenir finalement $[....:b-1:b-2]$ comme en base dix par exemple. "Wouah"...En tout cas, moi, c'est ce que j'ai ressenti... Un grand Wouah(j'adore les numérations, la base deux, la base trois, les bases b, la factorielle et la petite nouvelle, la primorielle)...
Voilà pour le point (2) de ta preuve.
Je pense donc qu'il est déraisonnable de chercher mieux. N'est-ce pas?

stfj · August 2022

bonjour, ["(1) Soit $1\leq n\leq 10^m-1$. Alors $S(n\cdot(10^m-1))=9m$"] n'est jamais qu'une façon formelle d'écrire un des résultats attendus. Nulle preuve n'y transparaît.
Pour bien comprendre, j'ai examiné le cas $m=2$ :
On prouve d'abord que $S(10^2-n)=2\times 10-1-S(n)$. D'où l'on déduit que $S(n.(10^2-1))=S(n)-1+S(10^2-n)=S(n)-1+2\times10-1-S(n)=2\times10-2=2\times(10-1)=2\times9$ comme avancé.
C'est bien ce que vous avez fait ?

yan2 · August 2022

Bonjour,

voila ce que j'ai fait pour cette étape :

\begin{align*}
S\left(n\cdot\left(10^m-1\right)\right)
&=S\left(n\cdot 10^m-n\right)=S\left(n\cdot 10^m-10^m+10^m-1+1-n\right)\\
&=S\left((n-1)\cdot 10^m+\left((10^m-1)-(n-1)\right)\right)\\
&=S\left((n-1)\cdot 10^m\right)+S\left((10^m-1)-(n-1)\right)=S(n-1)+9m-S(n-1)\\
&=9m.
\end{align*}

stfj · August 2022

@yan2: votre demande est "une approche plus esthétique". Que pensez-vous de ma suggestion de passer en base $b$? Cela obligerait sans doute à développer un peu pour montrer la pertinence du traitement dans le cas général d'une base quelconque. Pour convaincre son lecteur, il faudrait multiplier les exemples. Mais ne serait-ce pas plus esthétique qu'une belle solution léchée un peu impersonnelle ?

stfj · August 2022

@yan2: pour le (3), deux cas sont à examiner a priori :
(i) $n \leq 10^{m-1}-1$ auquel cas on est ramené au cas précédemment étudié; $n=(b-1:b-1:...:b-1)$ avec $b=$dix;
(ii) On fait la division euclidienne de $n$ par $b^{m-1}$. $n=qb^{m-1}+r$ avec $r \leq b^{m-1}$. On commence par observer que $S(n-qb^{m-1})=S(n)-q=...=S(n^2)-q$. Donc $n-qb^{m-1}=(b-1:...:b-1)$ et $n=(q:b-1:b-1:...:b-1)$.
Reste à prouver que $q$ est nécessairement $b-1$.
On va utiliser $2b-2=b+b-2$. Alors $2n=(2q+1:b-1:...:b-2)=(\alpha:\beta:b-1:...:b-2)$.
Il faut un peu se triturer les méninges pour exclure le cas $\alpha=0$ mais cela est utile pour finalement arriver à l'équation $1+2q+1-b-1=q$ d'où l'on tire (ouf!

) enfin que que $q$ ne peut effectivement être égal qu'à $b-1$. qed.
Que voulez-vous de plus élégant que cela pour des amateurs des numérations ? Alors, je réitère ce que j'avais dit au tout début : moi, je ne sais pas s'il y a mieux, je trouve déjà cela pas mal du tout.
Je ne sais pas où vous avez trouvé cet exercice mais j'aimerais bien savoir qui l'a écrit.

stfj · August 2022

Pour mettre un peu d'ordre dans mon fouillis, j'ai trouvé le §5 de ce cours : généralisation à d'autres systèmes de numération.

stfj · August 2022

Je me demandais comment on pourrait exploiter tout ce travail avec des élèves de tous âges ; dès 10/11 ans, il n'y a aucun problème à demander de poser ou de calculer de tête $2\times99, 3\times99, ...57\times 99,...$ puis de calculer $S(198), S(297), ...,S(5643),...$. Je sais par ailleurs que beaucoup d'élèves même jeunes sont intéressés par la base deux...

jandri · August 2022

Je reviens sur le résultat proposé par yan2, résultat qu'on peut généraliser à toute base $b\geqslant2$.
Je note $S_b(n)$ la somme des chiffres de $n$ écrit en base $b$. On a pour $n\geqslant2$ :
$S_b(n)=S_b(2n)=\dots=S_b(n^2)$ si et seulement si $n=b^m-1$ avec $m\in\N^*$ ou bien $n=b=2$.
Dans un sens yan2 l'a montré plus haut et c'est immédiat pour $n=b=2$.
La partie difficile est l'autre implication (point (3) dans l'énoncé de yan2).
J'ai d'abord cherché sans succès à utiliser le point (2). J'ai ensuite trouvé une démonstration assez courte.
Si $b^{m-1}+1\leqslant n \leqslant b^m-1$ alors en introduisant $k=b^{m-1}+1$ on montre que $S_b(kn)=S_b(n)$ entraine $n=b^m-1$.
Il suffit pour cela d'écrire $n$ en base $b$, puis $kn$ et de distinguer deux cas suivant qu'il y ait des retenues ou pas.
Remarque : si $n=b^m$ on obtient facilement la seule possibilité $n=b=2$.

lourrran · August 2022

En base $b$ quelconque, le principe de la preuve par 9 https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/la-preuve-par-neuf-5313.php#:~:text=Dans%20un%20vieux%20manuel%20scolaire,du%20multiplicande%20et%20du%20multiplicateur. continue de fonctionner.

Donc la somme des chiffres de tout les multiples de $b-1$ est un multiple de $b-1$.
Et parmi tous les nombres à 2 chiffres, le seul dont la somme des chiffres est $2(b-1)$ est $b^2-1=(b-1)(b+1)$, tous les multiples de $b-1$ à 2 chiffres et autres que $(b-1)(b+1)$ sont condamnés à avoir $S(k(b-1))=b-1$

Table de multiplication de 9

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