Théorème de Stokes
Bonjour
J'aurais besoin que l'on m'aide à comprendre (plus de détail) l'utilisation du théorème de Stokes ici.
On a la fonction $F(z)=\mathbb{E}\Big(\dfrac{zP'_n(z)}{P_n(z)}\Big)$, où $\mathbb{E}$ représente l'espérance et $P_n(z)$ est polynôme de degré $n$.
Par le théorème de Stokes, on a :
Par le théorème de Stokes, on a :
$$ \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{1}{z}F(z)=\frac{1}{\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{z}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}F(z,\bar{z})dxdy.$$
Un tout grand merci à celles et ceux qui prendront le temps !
Un tout grand merci à celles et ceux qui prendront le temps !
Réponses
-
BonsoirTu as oublié le $dz$ dans ta première intégrale.Et puis$$d\left(\frac1zF\,dz\right)=\frac\partial{\partial \overline z}\left(\frac1zF\right)\,d\overline z\wedge dz=\frac1z\,\frac{\partial F}{\partial \overline z}\, d\overline z\wedge dz$$et il ne reste plus qu'à voir que$$d\overline z\wedge dz=d(x-iy)\wedge d(x+iy)=2i\,dx\wedge dy\;.$$
-
Lien pour l'étude des formes différentielles complexes @GBZM , je te prie ? J'ai pas pu faire l'exercice autrement qu'en décomposant $F$ en $P + iQ$, dériver $P$ et $Q$ par rapport aux $\partial_x , \partial_y$ , se servir des conditions de Cauchy-Riemann, se servir ensuite de la définition de $\partial_z $... Ce n'était pas immédiat.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
-
C'est se compliquer inutilement la vie. On travaille avec les deux variables $z$ et $\overline z$. La différentielle extérieure d'une $1$-forme se calcule comme d'habitude :$$ \begin{align}d(A\,dz+B\,d\overline z)&=dA\wedge dz+dB\wedge d\overline z\\&=\left(\frac{\partial A}{\partial z}\,dz+\frac{\partial A}{\partial \overline z}\,d\overline z\right)\wedge dz+ \left(\frac{\partial B}{\partial z}\,dz+\frac{\partial B}{\partial \overline z}\,d\overline z\right)\wedge d\overline z\\&=\left(\frac{\partial A}{\partial \overline z}-\frac{\partial B}{\partial z}\right)\,d\overline z\wedge dz\end{align}$$et il ne reste plus ensuite qu'à faire le changement de variables $z=x+iy$, $\overline z=x-iy$.
-
Au fait, Positif, pourrais-tu avoir l'amabilité de dire si la réponse t'a convenu ?
-
Oui elle est claire. Merci bien.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
-
Avec plaisir.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres