Celui dont il ne faut pas prononcer le nom

stfj · August 2022

Bonjour,

Je me suis intéressé à l'exercice 232 de la série d'exercices ici. Je reformule cet exercice à dessein :

Exercice :
Dans $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$, on considère $\Omega=1+2i$ ainsi que l'homothétie $h$ de rapport $2$ et de centre $\Omega$, et $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$. Donner l'expression complexe de $rh$.

J'ai résolu laborieusement l'exercice et sauf erreur de calcul, $rh(z)=\Omega+(1+i)(z-\Omega)$ ou aussi $(x,y) \mapsto \sqrt2 (x-y+1,x+y-3)+(1,2)$.
Par exemple -c'est l'exemple que j'ai pris pour voir si mes calculs étaient cohérents avec une figure-, $rh(2,2)=(1+\sqrt2,2+\sqrt2)$.

Une chose m'interpelle un peu dans l'énoncé de l'exercice. Etant en dehors des circuits d'enseignement de mathématiques supérieures depuis longtemps, j'en étais resté à l'anathème contre le mot d' affixe lancé par un mathématicien à la fin des années soixante dans un de ses livres : "l'antique terminologie d'affixe..."
D'ailleurs, je remarque que dans l'énoncé de l'exercice 230, on parle sans problème d'une rotation de centre $i$
Ma question est la suivante : en dépit de l'anathème, l'usage du mot affixe a-t-il encore des vertus pédagogiques à un tel niveau d'enseignement ?

nicolas.patrois · August 2022

J’ai toujours entendu parler d’affixe, dès la terminale à la fin des années 80.

stfj · August 2022

@nicolas.patrois : je recopie Voldemort : " il n'y a pas de distinction à faire entre point $(x,y)$ du plan $\R \times \R$ et nombre complexe $x+iy$ (l'antique terminologie d'affixe est une relique d'un temps où on ne comprenait pas qu'il n'y a pas de différence entre "algèbre" et "géométrie") ; si l'on note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes au lieu de $\R \times \R$ ou $\R^2$, c'est pour rappeler qu'en plus de l'addition des vecteurs dans $\R \times \R$, il y est défini une multiplication qui fait de $\mathbb{C}$ un corps." (1968)
En ce qui me concerne, j'avoue que cette phrase m'a aidé à calculer sans complexe si j'ose dire.

lourrran · August 2022

Homothétie de rapport 2 + rotation, et tu trouves : $rh(z)=\Omega+(1+i)(z-\Omega)$
Le module de $1+i$ n'étant pas 2, j'ai des doutes.

Et pour revenir à la question, à la fin des années 70, une rotation de centre $i$, je crois que ça aurait fait tousser bien des profs.
Pour moi, pendant ma courte scolarité, j'aurais dit : une rotation de centre le point d'affixe $i$.

stfj · August 2022

@lourrran: bien vu $rh(z)=\Omega+\sqrt2(1+i)(z-\Omega)$. Il y a donc bien eu évolution en 50 ans puisque dans l'exercice 230, on parle de rotation de centre $1$, de centre $1+2i$, similitude de centre $1+i$

Dom · August 2022

C’est quand même embêtant d’écrire $(x;y)=x+it$ », non ?
Autoriserait-on d’écrire « $(1;2)\times (3;4)$ » quelque part ? Ou encore « $|(5;6)|$ » ? Ou bien $\dfrac{(5;6)}{(7;2)}$ ?

stfj · August 2022

@Dom : bonjour. Ben oui parce que c'est égal. Evidemment personne ne le fait : c'est bien plus commode d'écrire $\frac{5+6i}{7+2i}$. Je lisais hier la construction de $\mathbb{Z}_{ax}$ ici: on y écrit des choses bien plus surprenantes pour celle ou celui qui découvre cette construction.

stfj · August 2022

Par ailleurs, il faut savoir, concernant la remarque de @Dom que Voldemort a construit patiemment ailleurs $\mathbb{C}$.

JLapin · August 2022

Dom a dit :
Autoriserait-on d’écrire « $(1;2)\times (3;4)$ » quelque part ?

Le résultat commun de cette opération serait plutôt $(3,8)$.

C'est pourquoi je n'aime pas trop la construction $\C = \R^2$ et lui préfère celle par les matrices de la forme $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ pour par $\C = \R[X]/(X^2+1)$ qui est finalement la plus agréable (mais conceptuellement la plus difficile à mettre en place).

On pose $i = cl(X)$, on identifie le réel $\lambda$ à la classe du polynôme $\lambda X^0$ et tout va bien.

troisqua · August 2022

@dom : rien ne me choque dans ce que tu écris même si je conviens que je ne laisserai jamais une telle trace écrite dans un cours pour des terminales (ça tombe bien, je n'en ai plus !). Par contre en première année post-bac, j'écris exactement ces choses dès la première semaine. Mes étudiants ne se sont jamais plaint et, je pense, ont très bien compris leur cours sur les complexes.

En fait, existe-t-il une définition officielle du point dans un quelconque cours de math du secondaire ?

Si oui, alors cela pourrait rentrer effectivement en contradiction avec la définition des complexes donnée en terminale. Mais au fait, quelle est la définition donnée des nombres complexes en terminale ?

Si j'en crois mes souvenirs, aucun de ces deux concepts n'est défini précisément.

Personnellement, dans mes classes de première année post bac, dès la première semaine, je propose de définir le plan comme étant $\R^2$ et je propose de le munir d'une addition et d'une multiplication. Pour la première je montre aux étudiants qu'il est naturel d'utiliser les coordonnées cartésiennes pour prolonger naturellement l'addition dont on dispose sur l'axe des abscisses. Pour la seconde, toujours dans l'objectif de conserver les règles dont on dispose naturellement sur l'axe des abscisses, j'observe avec eux qu'il est naturel d'utiliser les coordonnées polaires. Je pose alors i$=(0;1)$ et la convention que pour tout réel $x$ on note x$=(x;0)$. Je leur fais alors montrer que $(x;y)=x+iy$ à l'aide des définitions et notations précédentes.

Je leur dis que quand on écrit $\C$, c'est pour désigner $\R^2$ muni de cette addition et de cette multiplication qu'on a définies et on vérifie toutes les règles (que je nomme et fais apprendre) qui font que $\C$ est un corps (sans pour autant employer le mot si tôt dans l'année).

Adrien Douady dans la vidéo ci-dessous parle "d'ajouter des points" et parle du "point 2" ou du "point $i$" très naturellement.

Passé ce stade de la définition, j'utilise les notations conventionnelles, mais j'avoue que très souvent, quand j'écris de la géométrie, à titre personnel, les points sont notés sous forme complexe directement et c'est souvent à la fois très pratique et très agréable (quand on sait ce qu'on fait bien évidemment). Je comprends pour autant évidemment l'intérêt pédagogique qu'il peut y avoir à chercher à distinguer les points du plan des nombres complexes.

stfj · August 2022

@troisqua : bonjour, je connais une brillante éléve, qui quand elle avait 14 ans, avait vaguement entendu parler des nombres complexes et qui interrogea son enseignant sur ce sujet; ça tombait bien, l'enseignant utilisait alors dans sa classe de 3ème, des repère cartésiens. Et il lui répondit : "tu vois, $i$, c'est tout simplement $(0,1)$; $7-5i$, c'est tout simplement le point $(7,-5)$, points avec lesquels nous ne cessons de travailler" (un truc du genre). Aujourd'hui, l'élève poursuit des études plus que brillantes dans un grand lycée parisien.

stfj · August 2022

Je recommande la suite du document proposé par @troisqua.

troisqua · August 2022

Il a fait une troisième vidéo sur la dynamique du lapin dans la foulée

stfj · August 2022

@troisqua: Adrien Douady est mort en 2006. La première vidéo que tu as proposée est d'Etienne Ghys qui rend hommage à Douady, je crois.

troisqua · August 2022

La première vidéo (avec le rapporteur) date d'avant 2005 (je me souviens que je la montrais à mes élèves de terminale S quand j'enseignais à ce niveau là). On reconnaît bien la voix de Douady.

La seconde vidéo, c'est également Douady qui parle (ou alors l'imitateur est fantastique ou bien je suis fou !)

Celui dont il ne faut pas prononcer le nom

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