Variété définie à partir d'une équation

Niser · August 2022

Bonjour,
J'ai un ensemble défini à partir d'une équation et je voudrais essayer de montrer que c'est une variété.
Je vais poster un exemple élémentaire pour que vous m'aidiez à comprendre ce qu'il faut démontrer et je vais essayer de faire mon exemple plus compliqué seul :
Soit $$
T:=\{ f(z)=\frac{az+c^2}{cz+b}\mid z\in \C,\ a>0,\ b<1,\ c\in \R ,\ a^2+b^2+2cab=1 \}\,.
$$ Je ne sais pas si ce $T$ forme une variété ou j'ai mis un mauvais exemple. Mais si je dois montrer que c'est une variété je dis que $T$ est homéomorphe à l'ensemble $$
\{ (a,b,c)\mid a>0,\ b<1,\ c\in \R,\ a^2+b^2+2cab=1\}.
$$
On voit qu'on a besoin de 3 variables $a,b,c$ pour trouver cet ensemble. Sauf qu'on a une relation qui est vérifiée par ces 3 variables qui pourrait nous faire perdre éventuellement une dimension de la variété (si c'est une variété) (dimension $3\to 2$).
Par conséquent, il faut que je vérifie que la différentielle de $a^2+b^2+2cab-1$ est non-nulle pour pouvoir prétendre que ce $T$ est une variété ?
Si je calcule le gradient, j'obtiens le vecteur $(2a+2cb,\ 2b+2ca,\ 2ab)$. Suffit-t-il de montrer que le gradient ne s'annule pas, ou faut-il que je vérifie que la différentielle c'est-à-dire que $\forall (h_1,h_2,h_3)\in \R^3 $ on a $$
(2a+2cb,\ 2b+2ca,\ 2ab)\cdot(h_1,h_2,h_3)\neq 0 \quad ?
$$ (le $\cdot $ entre les deux vecteurs ci-dessus est le produit scalaire usuelle dans $\R^3$).
Je suis conscient que dans mon message, il y a plusieurs erreurs ou plusieurs points que je confonds, donc pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Positif · August 2022

$\{ (a, b, c)\mid a > 0,\ b < 1,\ c \in \mathbf{R} ,\ a^2 + b^2 - 2 a b c = 1 \} $ est une sous-variété mais l'image de $f$ est également une sous-variété. La question est : est-ce que l'intersection est une sous-variété ?

stfj · August 2022

bonjour, j'ai représenté sous geogebra 3D $(x,y) \mapsto \frac{x^2+y^2-1}{2xy}$. Peut-être cela sera-t-il utile.

Image: https://zupimages.net/up/22/32/usmc.png

Niser · August 2022

J'ai essayé de revoir la définition de variété sur le net (car je n'ai pas un cours complet de géométrie différentielle) l'ensemble $T$ peut être défini à homéomorphisme près comme $\psi^{-1}(0)$, où $\psi :(a,b,c)\mapsto a^2+b^2+2abc-1$. Donc, pour montrer que $T$ est une variété, il faut montrer que $\psi $ est une submersion, c'est-à-dire que $\nabla \psi = (2a+2cb,\ 2b+2ca,\ 2ab)\neq (0,0,0)$

J'ai également une deuxième question.
Si j'avais l'ensemble $\{ (x,y)\mid x^4+y^2=1\}$. Cet ensemble est clairement une variété. En effet, $$\{ (x,y)\mid x^4+y^2=1\}:=\phi^{-1}(1),$$ où $\phi : (x,y) \mapsto x^4+y^2$ et $\nabla \phi (x,y)$ est non nulle pour $(x,y)$ vérifiant $x^4+y^2=1$. La question que je me pose, peut-on vérifier que cet ensemble est une variété comme suit :$$\{ (x,y)\mid x^4+y^2=1\}:=\Phi^{-1}(1),$$où $\Phi :(X=x^2,\ Y=y^2)\mapsto x^4+y^2=X^2+Y$ avec $\nabla \Phi(X,Y) =(\frac{\partial \Phi}{\partial X},\ \frac{\partial \Phi}{\partial Y})=(2X,1)\neq(0,0)$ ?

Positif · August 2022

La surface définie implicitement par $\psi$ est une sous-variété mais n'oublie pas que ton ensemble c'est $\{ f(z, \vec{a} ) |\mid z \in \mathbf{C} , \ \vec{a} \in T \} $.

Niser · August 2022

Ce que j'avais compris de l'ensemble $T$ c'est que c'est l'ensemble des fonctions $f$ qui sont obtenues en variant les paramètres $a,b$ et $c$.
$z$ c'est juste pour pouvoir donner un sens à la fonction $f$ et non définir l'ensemble $T$. Non ?

GaBuZoMeu · August 2022

Bonjour,

Tu ferais mieux de donner ton vrai problème. Parce que ce que tu as fabriqué avec ton $T$ est assez foireux.

Niser · August 2022

Le vrai problème est similaire.
Soit $$U:=\{u(z)=\frac{ab z+c^2}{c-bz}\mid z\in \C,\ 0< |b|<1, \ a <1, \ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\},$$ $a\in \R,\ b\in \C $ et $c\in \R$.
Il faut montrer que $U$ est variété en précisant la dimension.
Ma suggestion de réponse.
On a $U$ est homéomorphe à l'ensemble $$\{ (a,b,c)\mid 0<|b|<1, \ a <1, \ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\}=:\Phi^{-1}(0) \cap \{ (a,b,c)\mid 0<|b|<1, \ a <1\},$$ où $$\Phi :(a,b,c)\mapsto \ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2$$Notons que $\frac{\partial \Phi}{\partial a}=(1+|b|)^2c^2+|b|^2>0$. Donc, $\nabla \Phi(a,b,c) \neq 0$ pour $(a,b,c)$ vérifiant $ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0$. Par conséquent, $\Phi$ est une submersion et $U$ est une variété de dimension 3 car $a\in \R,\ b\in \C $ et $c\in \R$.
Est-ce que c'est bon ?

GaBuZoMeu · August 2022

Je ne vois pas ton homéomorphisme. Tu peux expliquer ?

Tel que tu l'écris, ton $U$ est une partie de $\C$.

Niser · August 2022

Peut-être fallait-il que j'écrive $$
U:=\Big\{u\mid u(z)=\frac{ab z+c^2}{c-bz} , z\in \C,\ 0< |b|<1, \ a <1, \ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\Big\}$$
pour que l'homéomorphisme soit correct ?
Ce que je voulais dire c'est que $U$ est l'ensemble des fonctions qui sont de la forme $\dfrac{ab z+c^2}{c-bz} $.

GaBuZoMeu · August 2022

Vraiment pas très claire ton histoire.

Tu considères $U$ comme une partie de la variété des homographies, qui est un ouvert de $\mathbb P^3(\C)$ ?

Niser · August 2022

Je ne sais pas c'est quoi homographies ni l'ensemble $\mathbb{P}^3 (\C )$ .

Ce que je veux dire c'est que $U$ est formé par les fonctions $u$ qui s'écrivent comme fraction rationnelle $u(z)=\frac{ab z+c^2}{c-bz}$, avec $a,b,c$ qui vérifient l'équation ci-dessus.

GaBuZoMeu · August 2022

Une homographie est une fonction $z\mapsto \dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z +\delta}$ avec $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$.

C'est tout de même un peu bizarre de se demander si un ensemble est une sous-variété quand on ne sait pas où cet ensemble habite. Non ?

Niser · August 2022

Mais on ne peut pas dire que $U$ est inclus dans l'ensemble des fonctions qui sont de la forme $u(z)=\frac{az+b}{cz+d} $ avec $a,b,c,d\in \C $ ?

GaBuZoMeu · August 2022

Si tu mets des $a,b,c,d$, tu vas avoir un mélange affreux avec tes autres $a,b,c$. C'est bien pour ça que j'ai employé $\alpha, \beta, \gamma,\delta$. On est donc avec des homographies. On impose $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$ (correction) car sinon on se trouve avec une fonction constante. Et on remarque que si on multiplie $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ par un même facteur, on a la même fonction. Ceci explique le $\mathbb P^3$ (pour espace projectif de dimension 3).

Niser · August 2022

Je pense que vous vouliez dire $\alpha \delta -\beta \gamma \neq 0$.
Donc en prenant $U$ un sous-ensemble des homographies on a que $U$ est homéomorphe à l'ensemble $$\{ (a,b,c)\mid 0<|b|<1, \ a <1, \ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\},$$ non ?

GaBuZoMeu · August 2022

Oui, j'ai corrigé. Pour la suite, tu vas un peu vite en besogne ! Peux-tu expliciter cet homéomorphisme ? Et en quoi un homéomorphisme va te donner une structure différentiable ? Il te faudrait un difféomorphisme ...

Niser · August 2022

Je montre que l'application $(a,b,c)\mapsto \frac{abz+c^2}{c-bz}$ est un difféomorphisme pour tout $z$ ?

GaBuZoMeu · August 2022

Non, ça ne va pas.

Niser · August 2022

Je ne vois pas alors c'est quoi le difféomorphisme entre les deux ensembles. Pouvez-vous me donner une indication?

Niser · August 2022

De plus, je ne comprends pas pourquoi $(a,b,c)\mapsto \frac{abz+c^2}{c-bz}$ n'est pas la bonne application, car intuitivement j'ai l'impression qu'on fait varier ces 3 coordonnées pour obtenir l'ensemble de tous les $u$.

GaBuZoMeu · August 2022

Ce qui ne va absolument pas c'est ton "est un difféomorphisme pour tout $z$".

On peut si l'on veut s'intéresser à l'application

$$\begin{align} f:X&\longrightarrow \mathbb P^3(\C)\\ (a,b,c)&\longmapsto [ab:c^2: -b: c],\end{align}$$

où $$\begin{align}X=\{(a,b,c)\in \R\times\C\times \R \mid{} &0<|b|<1, a<1,\\& c^4+[a(1+|b|)^2−(1−|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\}\;.\end{align}$$ Il est facile de voir que $X$ est une sous-variété de $\R\times \C\times \R$. Est-ce que $f$ est un difféomorphisme sur son image ? Si $c=a=0$, on tombe toujours sur la fonction constante $z\mapsto 0$. Embêtant, non ?

D'où sors-tu ce truc ? Tu n'es pas tombé là-dessus par hasard, je pense. Quel est ton vrai problème ?

Niser · August 2022

Désolé, j'ai oublié de mentionner que $c>0$ dans $X$ !

Pour trouver cet ensemble, je voulais caractériser l'ensemble $U$ qui était défini à partir d'éléments un peu compliqué de l'analyse et je suis tombé sur cet ensemble. Après, je voulais savoir si ce $U$ forme une variété ou pas...
Quand vous écrivez $\mathbb{P}^3(\C )$ et vous mettez 4 éléments en dessous, ceci est vrai car pour former une droite projective $\mathbb{P}(\C )$ on a besoin de deux point ?

GaBuZoMeu · August 2022

$\mathbb P^3(\C)$ est le quotient de $\C^4\setminus\{0\}$ par la colinéarité.

Niser · August 2022

On peut pas définir l'application comme suit :
$$f:(a,b,c)\in X\longmapsto [ab:c^2:-b:c]\in Y,$$ où $Y:=\{ [a:b:c:d]\in \mathbb{P}^3(\C) \mid b>0, \ 0<|c|<1\}$ et $X$ est défini tel que vous l'aviez défini en haut.
Je ne sais pas si $Y$ est le bon ensemble mais ce que je veux dire c'est de considérer un sous-ensemble de $\mathbb{P}^3(\C) $ ? Par exemple $Y:=f(X)$ ?

GaBuZoMeu · August 2022

Si tu mélanges complètement les $a,b,c,d$, on ne va plus s'y retrouver du tout.

Quels sont les $[\alpha:\beta:\gamma:\delta]$ dans l'image de $f$ ? Est-ce que $f$ est injective ?

Niser · August 2022

$f(X):=\big\{ [ab:c^2:-b:c]\in \mathbb{P}^3(\C)\mid a<1,\ 0<|b|<1,\ c>0,\ c^4+[a(1+|b|)^2-(1-|b|^2)]c^2+a|b|^2=0\big\}$ ?

GaBuZoMeu · August 2022

Bien sûr, mais avec ça on n'est pas trop avancé.

Niser · August 2022

Pour l'injectivité: Soient $[a_1b_1:c_1^2:-b_1:c_1],\ [a_2b_2:c_2^2:-b_2:c_2]\in f(X)$ tel que $$[a_1b_1:c_1^2:-b_1:c_1]=[a_2b_2:c_2^2:-b_2:c_2]$$ alors il existe $K\neq 0$ tel que $c_1=Kc_2$, $b_1=Kb_2$, $a_1b_1=Ka_2b_2$ et $c^2_1=Kc_2^2$ alors $K=1$ et $(a_1,b_1,c_1)=(a_2,b_2,c_2)$.
Je ne sais pas si c'est ça l'algèbre de $\mathbb{P}^3(\C )$

GaBuZoMeu · August 2022

Oui pour l'injectivité.

Je proposerais bien un changement de variable $b=rcu$ avec $0<r<1/c$ et $u\in S^1$ (complexe de module 1). On peut écrire $f$ dans la carte affine où la 4e coordonnée homogène est nulle non nulle (correction du lapsus), on trouve $(aru, c, -ru)$ et l'équation s'écrit en variables réelles $c^2+a(1+rc)^2-(1-r^2c^2)+ar^2=0$.

Niser · August 2022

Pourquoi la dernière coordonnée est nulle et non-pas 1 ?
J'ai l'impression que quand on fait ce changement de variable on passe de $[ab:c^2:-b:c]$ à $[arcu:c^2:-rcu:c]$ et comme $\mathbb{P}^3(\C)$ est le quotient de $\C^4 \backslash \{0 \}$ par la colinéarité on peut simplifier le $c>0$.

GaBuZoMeu · August 2022

Oui, c'est cela. J'ai corrigé le lapsus.

Niser · August 2022

Donc, après ce changement de variable dans l'espace $f(X)$ on obtient les coordonnées $[aru,c,-ru,1]$ ? (Il ne manque pas aussi le 1 en haut dans votre message du 12:58?)

D'autre part, $f$ est clairement de classe $C^\infty $. Il reste à montrer que $f$ est une application fermée ou ouverte pour avoir un $C^\infty $-difféomorphisme.
Soit $F$ un fermé dans $X$ alors $f(F)$ est un fermé dans $f(X)$. En effet, considérons les deux applications définies par $$
g:(a,b,c)\in X \longmapsto (ab,c^2,-b,c)\in \C^4,$$ et $$
\pi :(ab,c^2,-b,c)\in \C^4 \longmapsto [ab:c^2:-b:c]\in \mathbb{P}^3(\C ).$$ On a $$F\subseteq X \xrightarrow{~g~} g(F) \xrightarrow{~\pi~} f(F)$$ $g(F)$ est fermé dans $C^4$ et $g(F)=\pi^{-1}(f(F))$.

GaBuZoMeu · August 2022

Non, il ne manque pas le 1. C'est la carte affine de l'espace projectif donnée par

$$(\alpha,\beta,\gamma) \longmapsto [\alpha:\beta:\gamma:1]\;.$$

Le : dans la notation pour les coordonnées homogènes de l'espace projectif est là pour rappeler qu'elles sont définies à un facteur non nul près.

Niser · August 2022

D'accord. Merci pour tous ces explications !

Encore une petite question, pouvez-vous vérifier si, ce que j'ai écrit dans mon message du 15:47, est correct ou pas, pour dire que $f$ est un difféomorphisme ?

GaBuZoMeu · August 2022

Avec ces chaleurs, je préfère faire à ma façon :

L'application

$$ \begin{align} \C\times \R_+^*\times S^1\times \C&\longrightarrow \C\times \C\times \C^*\\ (a,r,u,c)&\longmapsto (aru,c,-ru)\end{align}$$

est clairement un difféomorphisme d'inverse $(z,c,w)\mapsto (-z/w, |w|, -w/|w|, c)$.

On restreint ce difféomorphisme à la sous-variété

$$\{(a,r,u,c)\in \left]-\infty,1\right[\times \left]0,1/c\right[\times S^1\times \R_+^* \mid c^2+a(1+rc)^2−1+r^2c^2+ar^2=0\}\;.$$

L'image est une sous-variété de dimension 3.

GaBuZoMeu · August 2022

Question subsidiaire : y a-t-il un point dans la sous-variété des $(a,r,u,c)$ ci-dessus avec $a=-c$ ?

Niser · August 2022

Si on dessine le graphe de l'équation $c^2-c(1+rc)^2-1+r^2c^2-cr^2=0$, on trouve qu'il n'y a pas de solution $c\in ]0,1[$. Mais pourquoi on se pose cette question ? Je veux dire qu'elle est l'inconvénient d'avoir $a=-c$ ?

GaBuZoMeu · August 2022

$c$ peut être où on veut dans $\R_+^*$ : la condition est $rc <1$, et il me semble bien qu'il y a des solutions qui vérifient ça.

Si $a=-c$, la fonction $z\mapsto \dfrac{abz+c^2}{c-bz}$ est constante égale à $c$, et ceci quel que soit $u=b/|b|$. Il y a donc une infinité de $(a,b,c)$ qui donnent la même fonction. C'est très embêtant, non ?

Niser · August 2022

Pour $a=-c$ on perd l'injectivité de la fonction qu'on a construit. Mais est-ce que ceci se traduit par le fait que si $a=-c$ alors sur "cette ligne de niveau" la variété $U$ se réduit à $\{c\}$. Du coup, ce n'est plus une sous-variété ?

GaBuZoMeu · August 2022

Le problème au départ, c'est quelle structure différentiable mets-tu sur l'ensemble de tes applications ? Si tu n'as que des homographies, c'est clair : on est dans un ouvert de $\mathbb P^3(\C)$. Si dans le tas tu as des constantes, ça ne va plus.

Encore une fois, pour dire quelque chose de pertinent il faudrait connaître le problème derrière ta question. Mais tu ne nous le dis pas. Dans ces conditions, je pense que tout ce qu'il était possible de dire à été dit. Bonne continuation !

Niser · August 2022

Je vais revoir tout cela. En tout cas, merci beaucoup pour votre aide et pour toutes ces explications !

Variété définie à partir d'une équation

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