Non raisonnement par l'absurde

Vassillia · August 2022

Merci Thierry Poma, je me permets juste de solliciter à nouveau Foys pour qu'il produise un document à destination des lycéens puisqu'il semble désireux de rendre accessible les règles sans reprocher à ce public de ne pas les deviner. Je ne sais pas s'il a vu cette demande tardive qui me paraît être dans le sujet du fil.
En attendant cet éventuel apport de sa part, je suggère que les enseignants désireux de se former lise "la logique pas à pas" de Jacques Duparc que tu as proposé, je le trouve pour tout public comme il part des bases, on peut même suivre la recommandation de Mediat_Supreme en s'intéressant à la logique modale. Par contre il n'y a pas les ouverts d'un espace topologique de GaBuZoMeu et c'est dommage car c'est quand même bien pratique pour trouver la valeur de vérité en calcul propositionnel avec la logique intuitionniste mais on ne peut pas tout avoir.

xax · August 2022

Il serait peut-être judicieux d'exporter la dernière partie du fil dans un sujet qui s'y rapporte ? je pense par exemple à un long fil récent sur le niveau des maths en France.

biely · August 2022

Dom a dit :

On commence par nier la conclusion.
Mais ici, je ne vois pas une quelconque référence à une négation. Je cherche un « ne », un « pas », etc. et je n’en vois pas.
Ça devrait commencer par « si non(non(rationnel) » et non pas par « si rationnel ».
Admettre « non(non(.) » donc « (.) » c’est utiliser un raisonnement par l’absurde.

Je ne suis plus lycéen depuis longtemps et je dois être idiot (forte probabilité

) car je n'ai toujours pas bien saisi le problème avec le raisonnement par l'absurde sur l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

Il me semble clair que la proposition P est "$\sqrt{2}$ est irrationnel" où le mot irrationnel est formé du préfixe du contraire "ir" et que "non P" est "$\sqrt{2}$ est rationnel" qui est une manière plus simple de dire en logique classique (j'ai bien saisi la différence avec la logique intuitionniste ) que "$\sqrt{2}$ n'est pas irrationnel". C'est peut-être là le hic: je parle à la fois de contraire et de négation.

Autre chose:

"Admettre "non(non(.)) donc (.)" c'est utiliser un raisonnement par l'absurde". Je vois le lien entre raisonnement par l'absurde et le principe du tiers exclu mais l'expression "utiliser" me dérange (à tort sans doute). Cela me fait un peu le même effet que d'utiliser la contraposée du théorème de Pythagore pour démontrer que BC=5 où ABC est un triangle rectangle en A avec AB=3 et AC=4.

Édit: le fil a été épuré pendant que j'écrivais et du coup ma première phrase sur le ton de l'humour tombe à plat.

GaBuZoMeu · August 2022

Biely : il n'y a aucun problème avec ce raisonnement. C'est juste que, techniquement, ce n'est pas un raisonnement par l'absurde. (J'ai l'impression de radoter, ça doit être la trois mille six cent quatorzième fois que je répète cela).

Il me semble clair que la proposition P est "$\sqrt2$ est irrationnel" où le mot irrationnel est formé du préfixe du contraire "ir"

Tu constates donc que P = non(Q) où Q est "$\sqrt2$ est rationnel". Et comment fait-on pour montrer non(Q) ? On suppose Q et on en déduit $\bot$, l'absurde. Parce que, techniquement, non(Q) est la même chose que $Q\implies \bot$.

Le raisonnement est le même que celui qu'on fait pour démontrer une implication $A\implies B$ : on suppose $A$ et on en déduit $B$ ; il ne te viendrait pas à l'idée d'appeler un tel raisonnement "raisonnement par l'absurde".

Pas de quoi fouetter un chat, mais je m'étonne tout de même de l'incompréhension de cette petite histoire chez des scientifiques.

Les philosophes anciens avait bien compris la différence en distinguant entre apagogie positive (affirmer P en prouvant que non(P) conduit à l'absurde) et apagogie négative (réfuter Q en prouvant que Q conduit à l'absurde)

Toujours techniquement, le vrai raisonnement par l'absurde qui fait tousser les intuitionnistes est l'apagogie positive. La démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$ est une apagogie négative, qui réfute "$\sqrt2$ est rationnel"; cette démonstration ne fait tousser aucun intuitionniste.

Dom · August 2022

Les textes suivants contiennent « la même » erreur : @biely , ce message est sans technicité, c’est peut-être plus clair finalement (après les éclairages 😏).
1)
« Pour démontrer que 4+6 est pair, on fait un raisonnement par récurrence.
Comme 4+6=10 alors 4+6=2x5 donc 4+6 est pair. ».

2)
« Pour démontrer non(P), on fait un raisonnement par l’absurde.
On suppose P alors […] alors c’est absurde. »

3)
« Pour démontrer que les angles d’un triangles rectangle isocèle sont 90°, 45° et 45° on utilise le théorème de Thalès.
En effet, la somme des angles vaut 180°. On a un angle droit et les deux angles sont égaux. Ça donne bien 45° pour les deux autres. »

C’est tout. C’est à la fois anecdotique, évident, bénin. Ça ne mérite aucunement un 0/20. Ça peut même mériter un 18/20.
Mais pas un 20/20.
Ou alors un 20/20 avec une remarque.
Par contre, mettre 20/20 et ne rien dire, je pense que c’est une erreur.

Martial · August 2022

Bonjour à tous,

Je n'ai pas tout compris à ce fil, j'ai l'impression qu'il s'agit d'un brassage de plusieurs fils anciens et/ou récents. Mais je vais quand même parler de mon expérience personnelle sur RPA vs non-RPA. Quand j'ai commencé à enseigner en seconde je ne connaissais strictement rien en logique. Avant de démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel j'utilisais la périphrase suivante pour justifier ce que je croyais être le RPA : Monsieur X est accusé du meurtre de Madame Y, disons à Paris. Son avocat explique, preuves à l'appui, qu'au moment du crime Monsieur X était en vacances à l'étranger, disons à Helsinki. Les jurés se tiennent alors le raisonnement suivant : supposons que Monsieur X ait tué Madame Y. Donc au même moment il était à Paris et à Helsinki. Or, Monsieur X n'a pas le don d'ubiquité, donc $\perp$. Donc Monsieur X n'est pas coupable, donc il est innocent.

Juste après je supposais que $\sqrt{2}$ est rationnel, blablabla, donc $\perp$, et donc $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel, i.e. irrationnel.

En fait j'utilisais seulement le fait que $\neg P = (P \Rightarrow \perp)$, mais il m'a fallu longtemps pour le comprendre.

Le déclic advint le jour où je tombai par hasard sur le livre de Pierre Ageron : "Logique, ensembles, catégoeires - Le point de vue constructif", qui affirmait précisément ce que je viens d'écrire ci-dessus. J'avoue que dans un premier temps je n'ai rien compris à son point de vue, je me suis même demandé un instant si ce monsieur n'était pas un illuminé notoire.

Bon, après j'ai fait le M2 LMFI, dans lequel on a très peu parlé d'intuitionnisme, voire pas du tout, et surtout j'ai beaucoup lu les fils de Christophe. Il me semble qu'il définit $\neg P$ comme étant $P \Rightarrow Tout$, i.e. que $Tout$ a la même signification que $\perp$ (ce qui est parfaitement juste au demeurant). Ce que je retiens de tout ça c'est la dichotomie suivante :

1) Si $P$ peut se mettre sous la forme d'une négation, disons $P= \neg Q$ (exemple : $P = \neg (\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$), alors on suppose $Q$, on démontre que $Q \Rightarrow \perp$, donc $\neg Q$, donc $P$, et le raisonnement est valable en LI.

2) Si $P$ ne peut pas se mettre sous la forme d'une négation (exemple : $P=$ "Tout polynôme non constant à coefficients dans $\mathbb{C}$ admet au moins une racine complexe"), alors on suppose $\neg P$, on démontre que $\neg P \Rightarrow \perp$, donc $\neg \neg P$, donc $P$. Et le raisonnement est valable en LC mais pas en LI.

Bon, le gag c'est que maintenant que j'ai tout compris cela fait bien longtemps que je n'enseigne plus en seconde...

Vassillia · August 2022

Je suis d'accord Dom mais l'erreur est faite avant, le cas de Martial est loin d'être anecdotique, moi non plus je n'ai pas appris ça pendant ma scolarité mais par curiosité personnelle. On ne peut pas faire de remarque à un étudiant à qui on n'a pas appris la différence et encore moins sanctionner donc tant que ce n'est pas connu par suffisamment d'enseignants, on est coincé.

Foys · August 2022

Rappelons à nouveau que ce qui est reproché à l'étudiant fictif qui qualifierait de "raisonnement par l'absurde" l'inférence que presque tout le monde emploie pour prouver que $\sqrt 2$ est irrationnel, ce n'est pas le raisonnement en lui-même mais son appellation par une expression erronée.

C'est comme si vous disiez "la multiplication $42 + 55 = 97$ est juste" et que vous ne compreniez pas le malaise qui s'en suit.

JLapin · August 2022

@Foys

Je pense qu'ici, à peu près n'importe qui faisant preuve d'un minimum de bonne volonté a compris ton point de vue.

Mais as-tu envoyé un mail aux auteurs du document de Louis-Le-Grand pour essayer de leur faire corriger ce que tu estimes provoquer un malaise ?

JLapin · August 2022

Vassillia a dit :

Merci Thierry Poma, je me permets juste de solliciter à nouveau Foys pour qu'il produise un document à destination des lycéens puisqu'il semble désireux de rendre accessible les règles sans reprocher à ce public de ne pas les deviner.

Il suffit d'un truc comme

" Pour montrer une propriété du type NON(P), on montrera que P implique le faux. En pratique, on supposera P pour démontrer une propriété fausse.

Exemple :

Pour montrer que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel, on supposera $\sqrt 2$ rationnel pour établir une absurdité (mais attention, il n'est pas correct du point de vue du logicien d'appeler ça "raisonnement par l'absurde").

Raisonnement par l'absurde
Il s'agit dans ce mode de raisonnement de montrer qu'une propriété $P$ est vraie en montrant NON(NON(P)) i.e. que NON(P) implique une absurdité.
La validité de ce mode de raisonnement s'appuie sur l'axiome qu'une propriété $P$ a la même valeur de vérité que la propriété NON(NON(P)).

Exemple :

Soit $f$ continue sur un segment. Alors $f$ est bornée.

En effet, supposons $f$ non bornée. Alors ...

" Comme à chaque fois, ce à quoi aboutit le raisonnement peut être qualifié d'absurdité, j'ai l'impression que c'est pour cette raison que les deux types de raisonnements s'appellent des raisonnements par l'absurde dans la vie courante.

zeitnot · August 2022

J'ai lu en diagonale et mon cerveau de vacancier tourne doucement. Désolé, si je fais radoter GBZM,

, est-ce qu'il est possible de donner un exemple simple où le raisonnement par l'absurde est employé merci.

GaBuZoMeu · August 2022

JLapin vient de donner le début d'un tel raisonnement dans le message juste au-dessus du tien : il suppose $f$ non bornée, et on procède ensuite par dichotomie pour fabriquer une suite de segments emboîtés de longueur tendant vers 0 sur lesquels $f$ n'est pas bornée. Si $x$ est le réel contenu dans tous ces intervalles, on aboutit à une absurdité en utilisant la continuité de $f$ en $x$.

C'est un exemple d'apagogie positive, un vrai raisonnement par l'absurde.

C'est aussi si l'on veut un raisonnement par contraposition, explicitement montrer $\neg Q\implies \neg P$ pour avoir $P\implies Q$. Le raisonnement par l'absurde est un cas particulier (avec $P=\mathrm{vrai}$).

zeitnot · August 2022

Ok, il a posté pendant que j'écrivais.

Vassillia · August 2022

Du coup, cela revient dans l'idée à ce que j'ai écrit au début JLapin et effectivement, je pense que c'est compréhensible par un lycéen sans partir trop loin dans la logique, il reste à convaincre les enseignants de corriger leur manière de faire. Ton exemple me semble très bien pour ce niveau.

biely · August 2022

A propos du raisonnement par l'absurde et du niveau lycée j'ai trouvé cette étude qui m'a l'air intéressante à première vue https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/PX/IGR18018/IGR18018.pdf

Je n'ai pas encore eu le temps de la potasser!

JLapin · August 2022

Mouai
L'exemple 1 est déjà raté.
L'auteur veut montrer que
0 n'est pas inversible dans $(R,\times)$

Supposons 0 inversible, alors ... donc 0=1.
Conclusion : 0 n'est pas inversible.

Il n'y a pas de raisonnement par l'absurde au sens Non(Non(P))=P dans cet exemple.
Vu ce genre de document, je pense que c'est peine perdue d'essayer de faire comprendre au grand public des profs de maths et des élèves que la preuve classique de l’irrationalité de $\sqrt 2$ ou de la non inversibilité de $0$ n'ont pas vocation à illustrer la technique du raisonnement par l'absurde.

nicolas.patrois · August 2022

JLapin a dit :

Raisonnement par l'absurde
Il s'agit dans ce mode de raisonnement de montrer qu'une propriété $P$ est vraie en montrant NON(NON(P)) i.e. que NON(P) implique une absurdité.
La validité de ce mode de raisonnement s'appuie sur l'axiome qu'une propriété $P$ a la même valeur de vérité que la propriété NON(NON(P)).

Donc, si j’ai bien compris :

Pour montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, on démontre que $\sqrt{2}$ n’est pas irrationnel aboutit à une absurdité, autrement dit, que $\sqrt{2}$ est rationnel aboutit à une absurdité.

Médiat_Suprème · August 2022

JLapin a dit :
Raisonnement par l'absurde
Il s'agit dans ce mode de raisonnement de montrer qu'une propriété $P$ est vraie en montrant NON(NON(P)) i.e. que NON(P) implique une absurdité.

Soit $P:=(0$ n'est pas inversible$)$ donc $\neg P = ($0 est inversible$)$ qui implique une absurdité. Bien sûr il s'agit de logique classique, sinon, on n'aurait pas $\neg\neg P=P$
En quoi ce schéma n'est pas identique à celui que vous appelez raisonnement par l'absurde ?

JLapin · August 2022

Ce qu'essayent d'expliquer bon nombre d'intervenants c'est qu'il n'y a pas besoin d'utiliser systématiquement Non(Non(P))=P.
$\sqrt 2$ est irrationnel c'est directement Non($\sqrt 2$ est rationnel).
$0$ n'est pas inversible c'est directement Non($0$ est inversible).

Pour démontrer ces deux propriétés il y a juste besoin de la définition de Non(P) qui est $P$ implique faux.

Vassillia · August 2022

Bof nicolas.partois, tu vas comme tu le dis démontrer que $\sqrt{2}$ rationnel aboutit à une absurdité, c'est juste une réfutation car on cherche à démontrer non(P), ce n'est pas un raisonnement par l'absurde au sens strict.

A partir du moment où on utilise dès le début non(non(P))=P évidemment qu'on peut faire une sorte de raisonnement par l'absurde à partir de ça puisque même en logique intuitionniste non(non(non(P)))<=>(non(P)) mais c'est un peu de la triche quand même je trouve, on utilise un outil non nécessaire qui complique inutilement.

Franchement c'est tordu :

- je suppose P et j'obtiens une absurdité donc non(P) est vraie. Il n'y a rien de compliqué à comprendre.

- je suppose P = non(non(P)) (on ne sait pas trop pourquoi mais admettons) et j'obtiens une absurdité donc non(non(non(P))) est vraie donc non(P) est vraie (effectivement cela fonctionne en logique intuitionniste). Tout ça pour dire, j'ai fait un raisonnement par l'absurde, c'est vraiment exagéré.

Médiat_Suprème · August 2022

JLapin a dit :

Ce qu'essayent d'expliquer bon nombre d'intervenants c'est qu'il n'y a pas besoin d'utiliser systématiquement Non(Non(P))=P.

Quel est l'intérêt de se priver d'un résultat bien connu ?
D'autre part, vous donnez un schéma qui définit le raisonnement par l'absurde, je vous donne un exemple conforme à votre schéma, mais vous dites que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde, cela me fait penser que votre définition est incomplète.
Je comprends bien que ce genre de "subtilités" est importante en logique intuitionniste ou en logique minimale, mais en logique classique, c'est inutile.

GaBuZoMeu · August 2022

Comme tout le monde peut le voir, le texte mis en lien par Biely est plein d'apagogies négatives :

1) réfuter que 0 est inversible

2) réfuter qu'il y a un nombre fini de premiers,

3) réfuter que $\sqrt2$ est rationnel

5) réfuter que $(u_n)$ a une limite finie

Je suis encore une fois stupéfait par les intervenants qui refusent de voir cela.

biely · August 2022

Vu sur le document que j'ai mis en ligne plus haut :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/qu/55sh2pkcfhaz.png

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/42/so9anx9timbw.png

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/23/9s4xnpcwe8na.png

Du coup je comprends ici la différence mais si j'en crois ce document on a bien un raisonnement par récurrence l'absurde.

nicolas.patrois · August 2022

JLapin a dit :

$\sqrt 2$ est irrationnel c'est directement Non($\sqrt 2$ est rationnel).

C’est aussi $\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

GaBuZoMeu · August 2022

Même Mediat_Supreme s'y met !

On peut bien sûr toujours faire un raisonnement par l'absurde en logique classique pour montrer $\neg P$. Mais c'est idiot techniquement de dire qu'on fait une démonstration de $\neg P$ par l'absurde quand on fait juste une démonstration de l'implication $P\implies \bot$ par déchargement de l'hypothèse $P$.

Médiat_Suprème · August 2022

GaBuZoMeu a dit :

1) réfuter que 0 est inversible
Je suis encore une fois stupéfait par les intervenants qui refusent de voir cela.

Justement : "réfuter que 0 est inversible" = "démontrer que non (0 est inversible)" (LC bien sûr)

Vassillia · August 2022

Je sais, je l'ai écrit dès le départ, pour faire un raisonnement par l'absurde il faudrait partir de $\sqrt{2} \notin \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$
Mais on n'est pas plus avancé car je ne sais pas écrire mathématiquement cette propriété qui contient une double négation sans écrire "bon en fait je voulais dire $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$" mais théoriquement il pourrait être ailleurs.

GaBuZoMeu · August 2022

Celle-la est trop belle, je l'encadre :

Justement : "réfuter que 0 est inversible" = "démontrer que non (0 est inversible)" (LC bien sûr)

En logique intuitionniste aussi ! Et justement, pour démontrer $\neg P$ on démontre $P\implies \bot$. Techniquement, aucun raisonnement par l'absurde : apagogie négative.

Dom · August 2022

Moi je ne dis même pas « on peut s’en passer donc il faut s’en passer ».

Je dis si on veut appliquer « non(non(P)) alors P » alors il faut bien commencer le raisonnement par un « NON ».

Qui ne voit pas le problème ?

Voir les exemples triviaux que j’ai donné plus haut.

C’est comme dire « je vais appliquer Thalès, j’ai un triangle $ABC$ rectangle en $A$ donc $AC^2=…$… ».

Médiat_Suprème · August 2022

GaBuZoMeu a dit :

Même Mediat_Supreme s'y met !
On peut bien sûr toujours faire un raisonnement par l'absurde en logique classique pour montrer $\neg P$. Mais c'est idiot techniquement de dire qu'on fait une démonstration de $\neg P$ par l'absurde quand on fait juste une démonstration de l'implication $P\implies \bot$ par déchargement de l'hypothèse $P$.

Ce que je voulais lire !

La distinction est fondamentale en LI ou LM, intéressante sur le plan philosophique et nécessaire sur le plan pédagogique (mais inutile en LC, puisque c'est le résultat qui importe, à moins de voir un schéma comme celui de JLapin, mais qui marche tout le temps).

PS : C'est la deuxième fois que cela m'arrive : un message de GaBuZoMeu (mais je suppose que cela n'a rien à voir avec lui) apparaît avant le mien (dans l'espace), mais après le mien (dans le temps) !

GaBuZoMeu · August 2022

"un message de GaBuZoMeu (mais je suppose que cela n'a rien à voir avec lui) apparaît avant le mien (dans l'espace), mais après le mien (dans le temps) ! "

Il y a sûrement un complot contre toi. Blague à part, où vois-tu ça ?

zeitnot · August 2022

Tu vois dom quand je lis les messages de GBZM par exemple, tout me semble parfaitement clair. Ceci dit, dans 6 mois si je devais réexpliquer tout ça à un collègue, je ne me fais pas entièrement confiance. Je crois que j'aurais besoin de prendre une nouvelle piqure de rappel avant. Je vais d'ailleurs m'archiver la conversation quelque part.

Médiat_Suprème · August 2022

GaBuZoMeu a dit :

"un message de GaBuZoMeu (mais je suppose que cela n'a rien à voir avec lui) apparaît avant le mien (dans l'espace), mais après le mien (dans le temps) ! "
Blague à part, où vois-tu ça ?

Cela vient de se produire, votre message de 15:46 m'est apparu après que j'ai posté à 15:47 (juste après que j'ai posté votre message n'apparaissait pas, c'est après un refresh que je l'ai vu) et c'était arrivé sur le fil "implication" avec des chats qui parlent français, il s'était produit la même chose, après avoir posté le mien, le vôtre était invisible, et après un refresh, il est apparu.

GaBuZoMeu · August 2022

" votre message de 15:46 m'est apparu après que j'ai posté à 15:47"

Il me semble que 15:46, c'est avant 15:47. Parler de "après le mien (dans le temps)" est donc une tromperie sur la marchandise.

Thierry Poma · August 2022

Les explications de GaBuZoMeu sont effectivement claires. J'espère ne pas mettre la zizanie en vous présentant ce texte de Monsieur Lombardi. Je ne l'ai pas encore lu, mais le ferai ; en attendant, je lui fais confiance.

Médiat_Suprème · August 2022

GaBuZoMeu a dit :

" votre message de 15:46 m'est apparu après que j'ai posté à 15:47"
Il me semble que 15:46, c'est avant 15:47. Parler de "après le mien (dans le temps)" est donc une tromperie sur la marchandise.

C'est pourtant ce qui s'est produit ! C'est peut-être dû au fait que vous éditiez le message (je ne sais pas et en fait, je m'en fous, je constate simplement, et c'est moins grave que l'erreur 504, même si "Mediat_Supreme fait rien qu'à copier !" m'a bien énervé (pas contre vous, mais contre le site, puisque c'est bien l'impression que cela donnait, même si mon message est meilleur

)

Bibix · August 2022

Je ne pense pas avoir saisi tout ce qui est discuté dans ce fil, mais pour moi, le raisonnement par l'absurde serait plutôt la démonstration de $non(P) \Longrightarrow non(non(P))$. Et donc avec le tiers exclus, on en déduirait $P$. Par contre, quand je démontre par exemple $non(Q)$ et $non(P) \Longrightarrow Q$, et que j'en déduis $P$, c'est par contraposée pour moi.

Mais je ne suis pas sûr de voir la vraie différence...

Thierry Poma · August 2022

Résumons la situation évoquée par GaBuZoMeu en l'illustrant au moyen de règles déjà postées ici. GaBuZoMeu me dira si je suis à côté de la plaque.

Apagogie positive : affirmer $\phi$ en prouvant que $\neg\phi$ conduit à l'absurde, comme le propose la règle ci-dessous :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/z6/fdxtvuq5iau6.png

Apagogie négative : réfuter $\phi$ (i.e. affirmer $\neg\phi$) en prouvant que $\phi$ conduit à l'absurde, comme le propose la règle ci-dessous :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/dk/7k0mkxwcys4r.png

La deuxième règle est utilisable en LI, pas la première.

Thierry Poma · August 2022

@Médiat_Suprème : pour te rejoindre, lorsque j'ai rédigé mon message, je ne voyais pas le dernier message de Bibix, même après validation. Il a fallu rafraichir le tout pour voir ledit message posté antérieurement au mien (mais ça, je m'en suis rendu compte a posteriori).

Médiat_Suprème · August 2022

Ouf, ce n'est pas un complot contre moi !

Merci de votre témoignage.

Pour votre message précédent, c'est correct, mais on peut avoir en tête qu'en Logique Classique toute formule $\varphi$ peut s'écrire $\neg \psi$

GaBuZoMeu · August 2022

"en Logique Classique toute formule $\varphi$ peut s'écrire $\neg \psi$"

Je trouve ça surprenant de la part d'un logicien qui normalement fait attention à l'analyse syntaxique des formules. Tant qu'on y est, toute formule $\varphi$ peut s'écrire $\psi \wedge \chi$ et aussi $\psi \vee \chi$ et aussi $\psi\implies \chi$ et aussi $\exists x\ \psi$ et aussi $\forall x\ \psi$.

Foys · August 2022

"en Logique Classique toute formule $\varphi$ peut s'écrire $\neg \psi$"

Tout va dépendre de ce qu'on entend par formule.

NB pour lecteurs débutants: la présentation de la notion de formule qui va suivre n'est pas du tout adaptée à la logique intuitionniste et doit être évitée si vous voulez vous y initier.

Soit $\sigma= (E,a)$ une signature (de logique du premier ordre sans symboles de fonctions pour simplifier; l'adaptation aux signatures avec symboles de fonction est immédiate: $E$ est un ensemble et $a:E\to \N$ une fonction). Soit $V$ un ensemble dénombrable. Définissons les formules de la façon suivante:

(i) un triplet $(b,f,\vec x)$ où $b\in \{+,-\}$, $f\in E$ et $\vec x \in V^{a(f)}$ est une formule;

(ii) pour toutes formules $\varphi,\psi$, $\varphi \wedge \psi$ et $\varphi \vee \psi$ sont des formules

(iii) pour toute formule $\theta$ et tout $x\in V$, $\forall x \theta$ et $\exists x \theta$ sont des formules.

La négation d'une formule est alors définie par induction sur sa taille, par

$\neg (+,g, \vec y) := (-,g, \vec y)$; $\neg (-,g, \vec y) := (+,g, \vec y)$

$\neg (\alpha \wedge \beta) := (\neg \alpha) \vee (\neg \beta)$; $\neg (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha) \wedge (\neg \beta)$

$\neg (\forall t \gamma) := \exists t (\neg \gamma)$; $\neg (\exists t \gamma) := \forall t (\neg \gamma)$.

Avec cette définition, il est immédiat que $\neg \neg \delta$ est syntaxiquement égal à $\delta$ pour toute formule. On peut développer un calcul des séquents (classique!) de façon naturelle avec les règles que vous imaginez bien.

Pourquoi je parle de cette définition pas forcément habituelle? Parce que presque tous les étudiants du supérieur en maths reçoivent, à un moment ou à un autre dans leur formation, des exos comme "donner la négation des phrases suivantes" (ex: $\forall x \exists y, x \leq y$ etc) et ces exos consistent à appliquer l'algorithme ci-dessus.

Après les gens ont du mal à se défaire de l'idée que toute phrase est une négation. Je ne me prononce ni pour ni contre mais Il est bon de comprendre d'où cela vient.

[Utilisateur supprimé] · August 2022

Médiat_Suprème a dit :
PS. C'est la deuxième fois que cela m'arrive : un message de GaBuZoMeu (mais je suppose que cela n'a rien à voir avec lui) apparaît avant le mien (dans l'espace), mais après le mien (dans le temps) !

Une piste peut-être : quand on poste le message, l'apparition du message dans la page est gérée par la page (en javascript, cote client si on veut, sans rafraichissement de la page et donc pas de connexion au serveur qui est charge de générer et renvoyer le code html des pages au navigateur), par contre quand on rafraichit la page dans le navigateur, là, on force la page à s'afficher suivant ce que le code écrit coté serveur. Ce genre de problème est classique, un peu chiant à gérer et à corriger programmaticallement, car c'est « piégeux » (sans rentrer dans les détails), et donc malheureusement dans 90% des cas, ça fait que ce genre de choses (pas trop « bloquant », il faut juste rafraichir la page après avoir posté pour avoir tous les messages éventuellement postés derrière son dos), sont communs, jusqu'à ce que quelqu'un puisse corriger le « problème ».

Après y a aussi peut-être un tri qui prend en compte la date de dernière modification et comme on peut modifier un message...(mais je ne crois pas troo que c'est ça le problème).

Mais désolé si ça n'a peut-être (sûrement car je suis plus connaisseur que ça) rien à voir avec le problème que vous rencontrez.

Médiat_Suprème · August 2022

Oui, c'est sans doute quelque chose de ce genre. Il affiche la page avec ce qu'il sait côté client : les messages d'avant ma réponse et ma réponse, mais pas ce qui a été posté entre les deux, si c'est bien cela, je dirais qu'une recherche d'optimisation (inutile) a introduit un bug.

[Utilisateur supprimé] · August 2022

C'est exactement ça (ou plutôt selon moi, c'est des vélléités inutiles (selon moi) de donner l'impression que le site est réactif), ou alors on peut le voir comme un dossier d'architecture du site mal conçu ou incomplet en phase préalable du développement.

heinki · August 2022

Bonjour,
au lycée, si les réels se divisent en deux ensembles
ceux qui ont la propriété p et ceux nonp

alors on cherche a démontrer que racine deux appartient à l'ensembles des réels qui sont non p

le contraire est bien racine de deux appartient à l'ensemble des réels de propriété p

Donc le début de je raisonne par l'absurde est bien
on suppose que racine de deux appartient à l'ensemble des réels de propriété p

En quoi les circonvolutions de l'implication posent un soucis pour savoir si un élément appartient à un ensemble ou a un autre complémentaire?

gerard0 · August 2022

Bonjour Heinki.

Pourquoi redire ce qui a été proposé au début de la discussion sans tenir compte de ce qui a été dit ?

Allez ! On va dire que tu réponds dans une discussion que tu n'as pas lue ... ce qui n'est pas très finaud.

Il faudra un jour quand même que tu apprennes un peu de logique ...

Cordialement.

Foys · August 2022

Vassillia a dit :

Merci Thierry Poma, je me permets juste de solliciter à nouveau Foys pour qu'il produise un document à destination des lycéens puisqu'il semble désireux de rendre accessible les règles sans reprocher à ce public de ne pas les deviner. Je ne sais pas s'il a vu cette demande tardive qui me paraît être dans le sujet du fil.

Comme le fil est remonté je viens de tomber sur ce message que je n'avais pas vu. Normalement j'évite de répondre longtemps après mais au vu du ton je pense que c'est approprié.

Je mets dans mes textes ce que je veux et je les écris quand je veux et d'autre part je n'ai aucune leçon à recevoir sur la pertinence de mes textes suivant le public auquel il sont destinés, surtout de la part de quelqu'un qui n'est jamais intervenu en mathématiques dans le forum.

Bonne journée.

JLapin · August 2022

heinki a dit :
En quoi les circonvolutions de l'implication posent un soucis pour savoir si un élément appartient à un ensemble ou a un autre complémentaire?

En rien.

Simplement, ici, un certain nombre de personnes s'étonnent/regrettent que soit appelé "raisonnement par l'absurde" l'utilisation de la définition de NON(P) à savoir P implique FAUX.

Vassillia · August 2022

@Foys Mais tout à fait, tu peux écrire ce que tu veux et moi aussi, je prends donc note donc que dans ton désir de rendre accessible les règles sans reprocher à ce public de ne pas les deviner, tu n'as pas répondu favorablement à ma sollicitation qui me semblait pourtant polie.
Ce n'est pas grave, je ne t'en veux pas de ne pas souhaiter ou être en capacité de le faire.

Comme je suis fair play, je reconnais que ton dernier texte qui explique les raisons qui peuvent être bloquantes est non seulement accessible pour un lycéen mais intéressant d'un point de vue pédagogique (c'est un compliment venant de ma part). En revanche, ton opinion concernant mes interventions mathématiques ou non m’indiffère totalement.

Bonne journée également.

Non raisonnement par l'absurde

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