Récurrence

Xavier Var
Xavier Var
dans Arithmétique
Bonjour.

Il s'agit de la démonstration du théorème ci-dessous donnée par Daniel Perrin :



La démonstration :



Il est clair que la récurrence est faite sur N.
Mais je ne vois pas où et faite l'initialisation. 
Puis, l'auteur suppose que E(N) est vraie avec N supérieur ou égal à b-1. Mais juste avant la propriété est vérifiée pour N < b. La négation de "N < b" serait pour moi "N >= b".
Tout le reste de la démonstration est comprise.

Réponses

  • OShine
    OShine
    La démonstration est claire dans le livre d'arithmétique de François Liret.
    Si vous voulez une copie d'écran je vous la donne.
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    Je ne vois pas pourquoi tu parles de négation. 
    La propriété est évidemment vraie jusqu’au rang $b-1$. C’est exactement ce qu’il y a écrit. Ensuite l’hérédité est faite sur les entiers supérieurs ou égaux à $b-1$. 
    Tu as donc ton initialisation… 
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Je parlais de négation dans le sens où le cas N < b a été traité. Du coup je me disais que l'autre cas c'est N >= b mais l'auteur prend N >= b - 1.
    Ce que je ne comprends pas c'est où est traité le cas N = 1 qui est l'initialisation. 
  • Amathoué
    Amathoué
    Comment ça l’autre cas? Le cas initial et le reste (sur lequel on étudie l’hérédité) ne sont pas disjoints, sinon la récurrence ne fonctionne pas, justement!
    Par ailleurs et encore une fois, le cas $N=1$ est compris dans le cas $N\leq b-1$…
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Ah merci c'est bon  :)

  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    Une récurrence classique consiste à montrer
    1) $P(0)$
    2) $\forall N\geqslant 0$, $(P(N)\implies P(N+1))$.

    Dans ce texte, l'auteur dit que $E(0),\ldots,E(b-1)$ sont évidents, et montre que $\forall N\geqslant b-1$, $(E(N)\implies E(N+1))$.

    Edit : je voulais dire $E(1),\ldots,E(b-1)$ sont évidents.


  • Xavier Var
    Xavier Var
    Modifié (August 2022)
    Parfait JLT.
    Tu voulais évidemment dire E(1) au lieu de E(0).
  • JLT
    JLT
    Oui effectivement.
  • Amathoué
    Amathoué
    JLT, ce n’est pas suffisamment clair ce que je raconte?
  • Xavier Var
    Xavier Var
    J'ai compris ton dernier message Amathoué surtout pour le cas N = 1. J'avais ce problème de disjonction qui restait un peu en tête. Avec la réponse de JLT, quantifiée et tout, plus de doute possible  :)
  • JLT
    JLT
    Apparemment ça l'est puisque Xavier Var a dit que c'est bon. J'avais juste peur que ça ne clarifie pas sa confusion.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Et voici le critère de récurrence qui correspond :

    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    La propriété $E(0)$ est évidemment vraie, et Daniel Perrin n'exclut pas le cas $N=0$.
  • stfj
    stfj
    Bonjour,
    Je vois la démonstration de l'existence mais pas de l'unicité de l'écriture en base b. C'est peut-être fait dans la page suivante mais du coup, le "cqfd" n'est pas clair. N'est-ce pas ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Le chiffre des unités $a_0$ de $N+1$ est le reste de la division par $b$. Ceci étant acquis, on utilise l'unicité de l'hypothèse de récurrence pour $(N+1-a_0)/b$.
  • JLapin
    JLapin
    C'est annoncé au début de la preuve : "nous montrons l'existence par récurrence".
    Si tu fais une relecture du bouquin avec des commentaires à envoyer à l'auteur, tu peux lui signaler cette ambiguïté pour qu'il peaufine son texte. Sinon, je pense qu'on arrive tout de même à suivre les débats.
  • stfj
    stfj
    @Math Coss: oui, je suis d'accord avec ce que tu écris mais Daniel Perrin ne l'écrit pas . Et son "cqfd" laisse néanmoins supposer qu'il a fini la démonstration de son théorème 1.12(écriture en base b). J'ai jamais vu écrire un "cqfd" à l'issue d'un résultat partiel d'un théorème. N'est-ce pas ?[remarque : en ce qui concerne les suites exactes, ouf pas besoin de théorie des catégories : je vais jeter un coup d'oeil sur ton écriture où l'image de l'un devrait être le noyau du suivant si j'ai bien compris]
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