La "catégorie" Z/2 ?
Bonjour à toutes et à tous et merci pour l'accueil récent sur Les-Mathématiques.net
Je m'intéresse depuis peu aux catégories et on m'excusera ma question sans doute "bête":
La catégorie des ensembles préordonnés Poset m'a interpelé. Je me demandais si définir la catégorie suivante, notons-la F'2, pose problème :
* Les objets de F'2 sont les entiers relatifs, ie les éléments de $ Z = \{ \text{... ,} -3,-2,-1,0,1,2,3,4,\text{...} \}$. (remarque: F'2 sera donc une petite catégorie au sens où ses objets forment un ensemble, en l'occurence $Z$);
* Les flèches de F'2 sont inspirées de celles de Poset. Soit $m$ et $n$ deux objets. $Hom(m,n)=\begin{cases} \{ \varnothing \}, & \text{si }m-n \in 2 \Z \\ \varnothing, & \text{si }m-n\in 1+2\Z \end{cases}$
Pour l'instant, j'ai fait des dessins avec les pairs en bleu et les impairs en rouge ; et dessiné quelques flèches ; je n'ai pas vérifié un à un les axiomes mais cela me paraît essentiellement trivial. Si la définition de F'2 en tant que catégorie est correcte, elle est certainement définie quelque part dans un cadre probablement plus général. En l'occurrence, est-ce que F'2 apporte quelque chose de plus par rapport à $\Z / 2\Z$ ? Est-ce que c'est utilisé quelque part ? Je songe à l'intérêt de présenter l'ensemble $\Z / 2\Z$ sans sa structure d'anneau de cette façon "colorée" à des personnes qui découvrent les entiers modulo 2... D'un point de vue personnel, il y a une phrase qui me revient :"le lecteur sera vite amené à ajouter de lui-même beaucoup d'autres exemples en réfléchissant à la structure de ses connaissances" (Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Jaffard-Poitou, 1971). J'avais envie de partager cet exemple (peut-être faux ou non pertinent) avec vous.
Cordialement.
Je m'intéresse depuis peu aux catégories et on m'excusera ma question sans doute "bête":
La catégorie des ensembles préordonnés Poset m'a interpelé. Je me demandais si définir la catégorie suivante, notons-la F'2, pose problème :
* Les objets de F'2 sont les entiers relatifs, ie les éléments de $ Z = \{ \text{... ,} -3,-2,-1,0,1,2,3,4,\text{...} \}$. (remarque: F'2 sera donc une petite catégorie au sens où ses objets forment un ensemble, en l'occurence $Z$);
* Les flèches de F'2 sont inspirées de celles de Poset. Soit $m$ et $n$ deux objets. $Hom(m,n)=\begin{cases} \{ \varnothing \}, & \text{si }m-n \in 2 \Z \\ \varnothing, & \text{si }m-n\in 1+2\Z \end{cases}$
Pour l'instant, j'ai fait des dessins avec les pairs en bleu et les impairs en rouge ; et dessiné quelques flèches ; je n'ai pas vérifié un à un les axiomes mais cela me paraît essentiellement trivial. Si la définition de F'2 en tant que catégorie est correcte, elle est certainement définie quelque part dans un cadre probablement plus général. En l'occurrence, est-ce que F'2 apporte quelque chose de plus par rapport à $\Z / 2\Z$ ? Est-ce que c'est utilisé quelque part ? Je songe à l'intérêt de présenter l'ensemble $\Z / 2\Z$ sans sa structure d'anneau de cette façon "colorée" à des personnes qui découvrent les entiers modulo 2... D'un point de vue personnel, il y a une phrase qui me revient :"le lecteur sera vite amené à ajouter de lui-même beaucoup d'autres exemples en réfléchissant à la structure de ses connaissances" (Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Jaffard-Poitou, 1971). J'avais envie de partager cet exemple (peut-être faux ou non pertinent) avec vous.
Cordialement.
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Réponses
Par contre je ne présenterais pas $\Z / 2\Z$ ainsi. Les morphismes (qui sont des "flèches", donc orientées) n'ont rien à voir avec $\Z / 2\Z$.
Prenons par exemple les objets 4 et 6 et 8. Hom(4,6)=$\{ \varnothing \}$ et Hom(6,8)=$\{ \varnothing \}$ . [remarque: $\{ \varnothing \}$ est une autre façon de noter "1 flèche de 4 à 6" et $\varnothing$, 0 flèche de 7 à 8 par exemple]. La composée de la flèche de 4 à 6 avec la flèche de 6 à 8 est la flèche de 4 à 8.
Un dessin sera plus parlant :
Bref pour traduire ton idée il faudrait dire que pour tout nombres entiers $n,m$ ayant même parité, $Hom(n,m):=\{(n,m)\}$. Donc l'unique flèche reliant 4 à 6 est notée $(4,6)$ et l'unique flèche reliant 6 à 8 est notée $(6,8)$.
À partir de là la composition des flèches est facile à définir, on pose $(n,m)\circ (m, k):=(n,k)$. Ainsi $(4,6)\circ (6,8)$ est bien égal à $(4,8)$...
Merci.
Je préfère ça : $Hom(m,n):=\begin{cases} (m,n), & \text{si }m-n \in 2 \Z \\ \varnothing, & \text{si }m-n\in 1+2\Z \end{cases}$
car à moins que quelque chose m'échappe, le $\varnothing$ est superflu dans le triplet.
Ta catégorie est équivalente à la catégorie discrète sur l'ensemble $\mathbb Z/2$ (i.e. que des flèches identité), et c'est un bon exemple de groupoÏde. C'est aussi un bon exemple pour d'autres phénomènes un peu plus subtils en théorie des catégories mais ce n'est certainement pas ce que tu cherches.
@GaBuZoMeu, @Maxtimax : la question continue à me trotter dans la tête. Après tout, je suis enseignant et autant que ce que j'apprends, même si ici c'est pour le plaisir, serve à mes élèves et surtout à moi pour les occuper. Pour tenter malgré vos avis de raviver le débat, je vous propose cette illustration de l'ensemble $\mathbb{Z}/6$ dépourvu de ses structures. Attention : j'ai triché, j'ai mis des couleurs parce que je sais quel résultat je veux, il faudrait laisser les élèves dans le noir un peu avant de finalement les éclairer ou qu'ils s'éclairent eux-mêmes. Qu'en pensez-vous ?