Étude d'une similitude et d'une fractale non connexe
Bonjour,
Je m'intéresse à une similitude $s$. On se place dans $\mathbb{C}$. La similitude $s$ est définie par $$\begin{array}{cccl}s:&\mathbb{C}& \longrightarrow& \mathbb{C} \\ &z &\longmapsto& \frac{1}{10}[(4+i)z+4].\end{array}$$Tout ce que vous pourriez me dire et m'apprendre sur cette similitude m'intéresse.
Voici quelques questions sur lesquelles j'ai commencé à travailler.
1) Effet de $s$ sur le carré $(0,\ 1,\ 1+i,\ i)$; [je n'ai fini tous les calculs et je vais m'efforcer de faire un dessin mais si quelqu'un m'en propose un avant que j'ai fini, ça serait cool]
2) Quel est le centre de $s$ ?
3) Prouver que $s$ est une contraction de $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ [c'est quoi une contraction déjà ?]
Soit alors $K_0:=\text{Enveloppe_convexe de}\{0,\ 1,\ 1+i,\ i\}$.
Que peut-on dire de la suite $(K_0,\ \bar s(K_0),\ \bar s ^2(K_0),\ \bar s ^3(K_0),\ldots)$ ?
[un dessin par des gens capables en informatique serait le bienvenu ]
Merci pour votre intérêt éventuel.
Cordialement.
Je m'intéresse à une similitude $s$. On se place dans $\mathbb{C}$. La similitude $s$ est définie par $$\begin{array}{cccl}s:&\mathbb{C}& \longrightarrow& \mathbb{C} \\ &z &\longmapsto& \frac{1}{10}[(4+i)z+4].\end{array}$$Tout ce que vous pourriez me dire et m'apprendre sur cette similitude m'intéresse.
Voici quelques questions sur lesquelles j'ai commencé à travailler.
1) Effet de $s$ sur le carré $(0,\ 1,\ 1+i,\ i)$; [je n'ai fini tous les calculs et je vais m'efforcer de faire un dessin mais si quelqu'un m'en propose un avant que j'ai fini, ça serait cool]
2) Quel est le centre de $s$ ?
3) Prouver que $s$ est une contraction de $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ [c'est quoi une contraction déjà ?]
4) Vu qu'on a commencé à contracter le carré $(0,\ 1,\ 1+i,\ i)$, que se passe-t-il si on réitère ?
Je vais tenter de formaliser ainsi : $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties d'un ensemble $E$. $s$ induit une application $\bar{s}$ :
$$\begin{array}{cccl}\bar{s}:&\mathcal{P}(\mathbb{C})& \longrightarrow &\mathcal{P}(\mathbb{C})\\ &U &\longmapsto &s(U),\end{array}$$ où $s(U)$ désigne l'image de $U$ par $s$. On a donc : $\bar{s}(U):=s(U)$.Soit alors $K_0:=\text{Enveloppe_convexe de}\{0,\ 1,\ 1+i,\ i\}$.
Que peut-on dire de la suite $(K_0,\ \bar s(K_0),\ \bar s ^2(K_0),\ \bar s ^3(K_0),\ldots)$ ?
[un dessin par des gens capables en informatique serait le bienvenu ]
Merci pour votre intérêt éventuel.
Cordialement.
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Réponses
Si on est d'accord sur la définition d'une enveloppe convexe, je ne vois pas de problème.
Cordialement.
Tout ceci me rappelle la construction de fractales par la méthode IFS (Iterated Function System). C'est une théorie assez intéressante et qui permet de s'amuser à obtenir de jolie fractales comme la fougère fractale.
Pour éviter le cas banal de convergence vers un unique point comme dans ton exemple, il suffit de considérer plusieurs applications contractantes, disons $T_i:\C\to \C$, $i=1..n$, Puis de considérer la nouvelle application $\begin{array}[t]{cccl}T:&\mathcal{K}(\C)&\to& \mathcal{K}(\C)\\& A&\mapsto &\bigcup T_i(A),\end{array}$ (où $\mathcal{K}(\C)$ est l'ensemble des parties compactes de $\C$). Alors cette application est également contractante pour la distance de Hausdorff et on peut appliquer le théorème du point fixe.
Et là magie : si tes application $T_i$ sont "bien choisies" le point fixe obtenu est une fractale... comme la fougère fractale.
Voir par exemple à partir de la page 20 de ce polycopié.
Tu dois d'abord exprimer tes deux transformations $s$ et $t$ matriciellement.
On obtient pour $s$ : $s:\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
0.4 & -0.1\\
0.1 & 0.4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0.4\\
0
\end{pmatrix}$
et pour $t$: $t:\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
0.4 & 0.7\\
0.7 & -0.4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0.5\\
-0.2
\end{pmatrix}$
Ensuite tu insères tout ça dans les champs adéquats sur le site que que je t'ai indiqué. Ça donne ça :
Tu peux ajouter des transformations et regarder le résultat. L'auteur en a déjà fait quelques uns comme la courbe de Von Koch.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
J'ai une calculatrice Numworks que je n'ai jamais programmé en python; c'est pê peut-être pour moi l'occasion d'apprendre. merci pour le script.
Quand on lit <br>, j'imagine que c'est un passage à la ligne, n'est-ce pas? et quand il y en a deux qui se suivent <br><br>, c'est une indentation. c'est ça ?
S'il y a plusieurs <br> qui se suivent, c'est simplement des lignes vides.
On se place dans $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$.
Soit alors $$\begin{array}[t]{cccl}s:&\mathbb{C}& \longrightarrow& \mathbb{C}\\&z &\longmapsto& \dfrac{(4+i)z+4}{10}\end{array}\qquad\text{et}\qquad\begin{array}[t]{cccl}t:&\mathbb{C}& \longrightarrow& \mathbb{C}\\ &z& \longmapsto& \dfrac{(4+7i) \bar{z}+5-2i}{10}\end{array}$$
$s$ et $t$ sont deux contractions de $\mathbb{R}^2$; la première, $s$, a été étudiée ici avec des illustrations d'$HERBO$ et des logiciels pour que vous obteniez vous-même ces illustrations si cela vous intéresse. J'y propose également l'étude de $t$ qui sera de toutes façons nécessaire pour répondre à la question que je vous propose.
Les anglophones parlent d'Iterated function system ($IFS$), on peut en français proposer l'acronyme $SFI$, je préfère parler d'Attracteur d'une Famille de Contractions ($AFC$). Baptisons alors $HERBO$ l'attracteur de la paire de similitudes $\{s,t\}$, autrement dit $HERBO:=AFC(\{s,t\})$.
Je souhaite démontrer avec votre aide qu' $HERBO$ est non connexe. Je dispose, pour étudier la géométrie des attracteurs, du livre de Claude Tricot, Géométrie et mesures fractales, une introduction, Chapitre 4. En ce qui concerne mes connaissances en topologie, disons que, dès [que] cela concerne comme ici un attracteur de $\mathbb{R}^2$, je suis près à pas mal d'efforts pour combler mes éventuelles lacunes concernant la topologie de $\mathbb{R}^2$. Bref, je suis loin d'être un crack ; mais, si parmi vous, il y en a qui ont suffisamment de patience, j'aimerais bien participer en naïf, à la résolution de cet exercice a priori original.
1) $K_1\cap K_2=\emptyset$
2) $s(K)\cup t(K)\subset K$ avec $K:=K_1\cup K_2$
3) $HERBO\cap K_i\neq \emptyset$ pour $i=1,2$.
Ceci prouverait qu'il y a au moins deux composantes connexes.
À la louche voici les deux compacts (mais pour les calculs c'est sans moi )
-- Schnoebelen, Philippe
Ils proposent ensuite un programme en basic(le livre date de 1988) que j'ai recopié en python en utilisant turtle et qui marche très bien pour $c=-1$ par exemple.
(Reste évidemment à définir la fonction racine carrée d'un nombre complexe, terrain sur lequel je ne m'aventure pas . Dans le programme proposé, si $z=re^{i.\theta}$, avec une fonction $RANDOM$, on choisit ou bien $r:=\sqrt{r}$ ou bien $r:=-\sqrt{r}$; et $\theta:=\frac{\theta}{2}$.)
Par contre, je l'ai testé pour d'autres valeurs que $c=-1$ et cela marche beaucoup moins bien parfois, on obtient une image très grossière du Julia.
-- Schnoebelen, Philippe
Il me reste maintenant à trouver d'autres points de $HERBO$, au moins un .
Je récapitule. Nous avons une fractale $HERBO:=AFC(\{s,t\})$, où $s$ et $t$ sont deux similitudes du plan $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ définies ci-dessus. $s$ est une similitude directe de centre $\alpha=\frac4{37}(6+i) \approx (0.65,0.11)$ et $t$ une similitude indirecte. $$\forall n \in \mathbb{N} : t^n\alpha \in HERBO$$ et $w:=t^{\infty}\alpha \approx (1.6;0.65)\in HERBO$
Je propose de démontrer que $HERBO$ n'est pas connexe en suivant la démarche indiquée par raoul plus haut. Maintenant que nous disposons d'une infinité de points de la fractale, et qu'il est aisé d'en définir d'autres, définir deux compacts $K_1$ et $K_2$ comme indiqué par raoul me paraît être assez facile, même si de l'aide de personnes ayant l'habitude de manipuler des fractales -ce qui n'est pas mon cas- serait la bienvenue.
Quelque chose me dit que ton HERBO est également totalement discontinu.