Une inégalité de normes
Salut à tous.
Soit $E = \mathbf{R}^d [X] $, pour $P \in E$, $\ || P ||_{\infty} = \sup_{t \in [-1, 1]} |P(t)| $ la norme infinie et $ || P ||_1 = \int_{-1}^1 | P(t) | dt $ la norme $L^1$.
Soit $S = \{ P \in E \mid || P ||_{\infty } = 1 \} $. Est-il vrai que pour tout $P \in S,\ || P ||_1 \geq \frac{2}{d + 1} $, et que cette inégalité est atteinte pour $X^d$ ?
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J'ai l'impression que si $Q \in S$ et est de degré 2 (par exemple) je peux ajouter un terme en $X^3$ ou $X^4$ au polynôme, en modifiant un tout petit peu les coeff de $Q$, pour qu'il reste dans $S$ tout en diminuant la norme $L^1$ mais je n'arrive pas à le démontrer.
Peut-être que c'est faux.
Soit $S = \{ P \in E \mid || P ||_{\infty } = 1 \} $. Est-il vrai que pour tout $P \in S,\ || P ||_1 \geq \frac{2}{d + 1} $, et que cette inégalité est atteinte pour $X^d$ ?
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J'ai l'impression que si $Q \in S$ et est de degré 2 (par exemple) je peux ajouter un terme en $X^3$ ou $X^4$ au polynôme, en modifiant un tout petit peu les coeff de $Q$, pour qu'il reste dans $S$ tout en diminuant la norme $L^1$ mais je n'arrive pas à le démontrer.
Peut-être que c'est faux.
---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Réponses
Pour $d=1$ on peut démontrer que $||P||_1\geqslant2(\sqrt2-1)||P||_{\infty}$.
Ce résultat, dû à Korkin & Zolotarev (1873), n'impose aucune condition sur la norme $\| P \|_{L^\infty}$ (je préfère noter cette norme comme ça, afin de ne pas la confondre avec le max des modules des coeffs).
L'une des démonstrations possibles repose sur l'égalité
$$\int_{-1}^1 t^k \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = \begin{cases} 2^{1-d}, & \textrm{si} \ k=d \, ; \\ 0, & \textrm{si} \ 0 \leqslant k \leqslant d-1. \end{cases} \tag{1}$$
Admettant ce résultat, on a puisque $P$ est unitaire
$$\| P \|_1 \geqslant \int_{-1}^1 P(t) \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = 2^{1-d}.$$
L'identité (1) peut être établie par changement de variable $t= \cos \theta$ puis en utilisant la série de Fourier de la fonction $x \mapsto \textrm{sgn} (\sin x)$.
Pour la question initiale, voir ce message de @BobbyJoe qui démontre que $\|P\|_\infty \lesssim d^2\|P\|_1$ mais $\neg(\|P\|_\infty \lesssim d\|P\|_1)$ : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2373988/#Comment_2373988