Deux points de Nobbs et un milieu

% Jean Louis Ayme - 28 Juin 2022 - Deux points de Nobbs et un milieu
% 1. ABC    un triangle
% 2. (I)    le cercle inscrit à ABC
% 3. DEF    le triangle de contact
% 4. P, Q   les points d'intersection de (EF), (DE) resp. avec (BC), (AB)
% 5. A"     le point d'intersection de la A-bissectrice extérieure 
%           de ABC avec (BC)
% 6. A*     le milieu de [AA"].
% 
% Question :       (PQ) passe par A*.

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle nscrit (au lieu de DEF)

syms u v w

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v; % Le suffixe B veut dire conjugué
wB=1/w;

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués de a,b,c
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(1,v*w,-v-w,1,u^2,-2*u); % Point P
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(1,u*v,-u-v,1,w^2,-2*w); % Point Q

p=Factor(p); % On trouve p = u*(u*v+u*w-2*v*w)/(u^2-v*w)

as=2*s3*(2*u-v-w)/((v+w)*(u^2-v*w));           % Point A"
asB=2*s3B*(2*uB-vB-wB)/((vB+wB)*(uB^2-vB*wB)); % Conjugué

% On trouve as=2*s3*(v-2*u+w)/((v+w)*(-u^2+v*w))

astar=Factor((a+as)/2); % Milieu A* de [AA"]
astarB=Factor((aB+asB)/2); % Conjugué

% On trouve astar=v*w*(u*v+u*w+v*w-3*u^2)/((v+w)*(-u^2+v*w));

% P, Q, A* sont ils alignés ?

mat=[p pB 1; q qB 1; astar astarB 1];

Nul=Factor(det(mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné