Une inégalité de normes
Salut à tous.
Soit $E = \mathbf{R}^d [X] $, pour $P \in E$, $\ || P ||_{\infty} = \sup_{t \in [-1, 1]} |P(t)| $ la norme infinie et $ || P ||_1 = \int_{-1}^1 | P(t) | dt $ la norme $L^1$.
Soit $S = \{ P \in E \mid || P ||_{\infty } = 1 \} $. Est-il vrai que pour tout $P \in S,\ || P ||_1 \geq \frac{2}{d + 1} $, et que cette inégalité est atteinte pour $X^d$ ?
----------------------------------------------------------------------------
J'ai l'impression que si $Q \in S$ et est de degré 2 (par exemple) je peux ajouter un terme en $X^3$ ou $X^4$ au polynôme, en modifiant un tout petit peu les coeff de $Q$, pour qu'il reste dans $S$ tout en diminuant la norme $L^1$ mais je n'arrive pas à le démontrer.
Peut-être que c'est faux.
Soit $S = \{ P \in E \mid || P ||_{\infty } = 1 \} $. Est-il vrai que pour tout $P \in S,\ || P ||_1 \geq \frac{2}{d + 1} $, et que cette inégalité est atteinte pour $X^d$ ?
----------------------------------------------------------------------------
J'ai l'impression que si $Q \in S$ et est de degré 2 (par exemple) je peux ajouter un terme en $X^3$ ou $X^4$ au polynôme, en modifiant un tout petit peu les coeff de $Q$, pour qu'il reste dans $S$ tout en diminuant la norme $L^1$ mais je n'arrive pas à le démontrer.
Peut-être que c'est faux.
---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
Réponses
-
Up---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
-
Ton inégalité est également atteinte pour le polynôme $P(t) = \frac{1}{d+1} U_d(t)$ où $U_d(t)$ est le polynôme de Tchebychev de seconde espèce, puisque $\|U_d \|_\infty = d+1$ et $\| U_d \|_1 = 2$.
-
BonjourSi je ne me suis pas trompé dans les calculs, l'égalité doit être réalisée pour les carrés des polynômes de Legendre associés au segment $[-1;1]$ (donc ça ne donne(rait) que des exemples pour $d$ pair).Par ex. $L_{2}^{2}=\frac{(3x^2-1)^2}{4}$ donne(rait) $||L_{2}^{2}||_{\infty}=1,\ ||L_{2}^{2}||_{1}=2/5,\ d=4$.À vérifier (la question ne me motive pas suffisamment pour que je vérifie les calculs griffonnés sur un ticket de caisse à peine lisible).
-
Quand $d=1$ la propriété est fausse. Par exemple pour le polynôme $P=\dfrac13(2X+1)$ on a $||P||_{\infty}=1$ et $||P||_1=\dfrac56<1$.
Pour $d=1$ on peut démontrer que $||P||_1\geqslant2(\sqrt2-1)||P||_{\infty}$. -
Ce qui est vrai, c'est l'inégalité suivante : si $P$ est unitaire de degré $d \geqslant 1$, alors $\| P \|_1 \geqslant 2^{1-d}$, avec égalité si, et seulement si, $P$ est le polynôme de Tchebychev de $2$nde espèce normalisé, i.e. ssi $P = 2^{-d} U_d$.
Ce résultat, dû à Korkin & Zolotarev (1873), n'impose aucune condition sur la norme $\| P \|_{L^\infty}$ (je préfère noter cette norme comme ça, afin de ne pas la confondre avec le max des modules des coeffs).
L'une des démonstrations possibles repose sur l'égalité
$$\int_{-1}^1 t^k \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = \begin{cases} 2^{1-d}, & \textrm{si} \ k=d \, ; \\ 0, & \textrm{si} \ 0 \leqslant k \leqslant d-1. \end{cases} \tag{1}$$
Admettant ce résultat, on a puisque $P$ est unitaire
$$\| P \|_1 \geqslant \int_{-1}^1 P(t) \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = 2^{1-d}.$$
L'identité (1) peut être établie par changement de variable $t= \cos \theta$ puis en utilisant la série de Fourier de la fonction $x \mapsto \textrm{sgn} (\sin x)$. -
BonjourTrès joli (noix de totos).
-
Bonjour,
Pour la question initiale, voir ce message de @BobbyJoe qui démontre que $\|P\|_\infty \lesssim d^2\|P\|_1$ mais $\neg(\|P\|_\infty \lesssim d\|P\|_1)$ : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2373988/#Comment_2373988 -
Comme je l'ai écrit sur l'autre fil, je ne suis pas d'accord avec la "fausseté" de la seconde inégalité (du moins en ajoutant une constante).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres