Définition d'un compact
Bonjour,
En avançant sur le Danter j'ai trouvé cette définition d'un espace métrique compact : "Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une sous-suite convergente.".
Or, dans d'autres ouvrages ou sur internet, je tombe parfois sur la définition suivante : "Un espace topologique (X, T ) est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini.".
J'ai bien conscience que le contexte n'est pas le même dans les deux définitions et, en particulier, la deuxième définition me parait se placer dans un contexte plus large que la première mais j'imagine que ce n'est pas un hasard si on utilise le mot "compact" dans les deux cas et je n'arrive pas à voir de lien entre les deux. En existe-t-il un ?
En avançant sur le Danter j'ai trouvé cette définition d'un espace métrique compact : "Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une sous-suite convergente.".
Or, dans d'autres ouvrages ou sur internet, je tombe parfois sur la définition suivante : "Un espace topologique (X, T ) est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini.".
J'ai bien conscience que le contexte n'est pas le même dans les deux définitions et, en particulier, la deuxième définition me parait se placer dans un contexte plus large que la première mais j'imagine que ce n'est pas un hasard si on utilise le mot "compact" dans les deux cas et je n'arrive pas à voir de lien entre les deux. En existe-t-il un ?
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Réponses
"Un espace topologique (X, T ) séparé est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini." Quant au fait qu'un espace métrique (E, d) est compact ssi toute suite de E admet une sous-suite convergente", il y a du boulot. Cela ne s'explique pas en 5 min, ni même en 15.
Introduction to metric dans topological spaces
Très pédagogique l’auteur. Et il est court.
Je recommande de procéder par l'absurde en exploitant bien l'hypothèse initialement omise de séparation de l'espace.
Sinon, un mot clé : propriété de Borel-Lebesgue.
On peut découper ainsi (du moins dans la démo que je connais) :
On peut déjà noter (BW) la propriété avec les sous-suites et (BL) celle avec les recouvrements.
On cherche à montrer que (BW) est équivalente à (BL).
1) L'une des deux implications est relativement simple à démonter, laquelle ? La démontrer.
2) Pour l'autre implication, on pourra montrer les deux lemmes suivants :
a) (Nombre de Lebesgue) Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement d'un espace métrique $(X,d)$ vérifiant (BW).
(Par ailleurs, vous connaissez d'autres démo pour l'implication plus compliquée ? Je crois n'avoir vu que celle là.)
@Math Coss Justement, j'ai surtout essayé d'y réfléchir dans IR pour l'instant car c'est l'espace que je connais le mieux et je n'ai pas abouti. J'ai vu effectivement que ça avait un lien avec cette fameuse propriété de Borel-Lebesgue mais en tout honnêteté je n'ai rien compris à cette propriété.
@GaBuZoMeu @agregagreg2 Merci je vais y réfléchir à tête reposée. Pour l'instant, en première lecture, je panique complètement mais c'est toujours le cas pour moi en analyse.
Un sous-recouvrement fini de E c'est bien un ensemble fini d'ouverts de E dont la réunion contient E ?
Ok pour "$(E\setminus F_n)$ est une suite croissante d'ouverts" (car les $(E\setminus F_n)$ sont les complémentaires des $F_n$ par contre je n'ai pas du tout compris la suite.
Je n'ai pas tout compris. Comment sait-on que l'intersection n'est pas vide ? Comment sait-on que l'intersection contient une valeur d'adhérence ?
Edit : Je me suis emmêlée les pinceau en l'écrivant mais je pensais à $F_{n+1}$ est inclus dans $F_n$ et non l'inverse dans la première phrase.
1) Aucune idée. J'imagine que c'est (BL) => (BW) puisque c'est ce que GaBuZoMeu a prouvé en quelques lignes mais sans son intervention je n'aurais vraiment pas su dire (quand j'ai dit que je ne voyais pas le lien entre les deux définitions c'est que pour moi ce sont deux choses sans aucun rapport).
2) a) Je dirais que comme $(U_i) _{i \in I}$ est un recouvrement de E alors pour tout $x \in E$, il existe un i tel que $x \in U_i$. Je n'ai pas compris ce qu'était D donc je peine à aller plus loin.
b) J'ai l'impression que ça revient à montrer (BW) => (BL) justement à cause de la réunion finie mais c'est tout ce que je peux en dire.
c) Je n'ai pas compris si on avait besoin de a) pour b) et que la conclusion étant dans b) ou s'il fallait assembler a) et b) pour conclure.
Pour être sûre, les ensembles ci-dessous par exemple sont bien un recouvrement de $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle
- {$]-\infty; 0]$, $[ 0; +\infty[$}
- {$]-\infty; -1]$, $] -3; 7]$, $\{42\}$, $[0; +\infty[$}
- { $]-n; n[$ | $n \in \mathbb{N}$} ?
Si j'ai un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ et un recouvrement comment je fais pour en extraire un sous-recouvrement fini ?
A mince, j'avais zappé "ouvert". Je fais bien de poser la question, j'ai mal compris ces notions.
Le dernier ensemble n'est pas fini, non ? (ou je n'ai pas bien compris ce que "fini" signifie)
Donc si je change en :
- {$]-\infty; 0 [$, $]-1; +\infty[$}
- {$]-\infty; -1[$, $] -3; 7[$, $]0; +\infty[$}
- { $]-n; n[$ | $n \in \mathbb{N}$}
ça marche ?
Si je comprends bien, pour tout recouvrement d'ouverts de $\mathbb{R}$ il existera au moins deux ensembles dont l'intersection n'est pas vide ? Je pense à mon premier exemple, si j'avais mis {$]-\infty; 0 [$, $]0; +\infty[$} je ne recouvrait pas $\mathbb{R}$.
"Par ailleurs, $\mathbb R$ n'est pas compact" : effectivement.. Je change ma question, si je prend un segment de $\mathbb{R}$, par exemple $[0; 1]$, comment puis-je trouver un recouvrement fini ?
Je lis et digère les messages plus hauts et je vous réponds.
Edit : Olala, merci @GaBuZoMeu, ce ne sont que des choses que je sais finalement ou des arguments que je comprends en les lisant mais j'aurais eu un mal fou à trouver toute seule.
Effectivement pour les 2 premiers exemples (à supposer qu'on prenne bien des ouverts..) qui était déjà fini il n'y avait pas de difficulté à en trouver un fini mais effectivement pour le troisième, qui était infini je ne voyais pas trop comment m'y rendre, et pour cause, $\mathbb{R}$ n'étant pas compact ce n'est peut-être pas possible. En fait, il faudrait que je commence par montrer que dans l'exemple donné par @GaBuZoMeu on ne peut pas extraire de recouvrement fini mais pour l'instant je n'ai aucune idée de comment m'y prendre.
Bref. Bonne continuation.
@GaBuZoMeu Merci, je vais réessayer de comprendre à tête reposée, pour l'instant je suis un peu bloquée sur le dernier paragraphe. J'ai beaucoup de mal avec les démonstrations d'analyse en général et il me faut souvent beaucoup de temps et de recul pour les comprendre.
@JLapin
Merci pour ton message. En fait dans le Dantzer on ne parle que des espaces métriques compacts avec la définition donnée plus haut. A moins que je sois passée à côté, du fait de mon ignorance et de mes difficultés de compréhension, il ne semble fait allusion nulle part à l'autre définition. C'est en cherchant un contre-exemple à la réciproqueà la propriété ci-dessous dans un autre livre que je suis tombée sur l'autre définition.
"Soient (E, d) un espace métrique et A une partie de E.
Si A est une partie compacte de E, alors A est un fermé borné de E."
Sinon, j'avais essayé à plusieurs reprises le Queffélec mais j'ai toujours été larguée dès les premiers paragraphes du chapitre 1 qui parlent pourtant de $\mathbb{R}$.
Et que penses-tu de R barre ?
"Et que penses-tu de R barre ? " : Je pense que R barre est compact car si on prend une suite de R barre, soit elle est bornée (par un réel, est-ce qu'il faut préciser ou est-ce que dans ce cas on peut dire qu'une suite est bornée par $+\infty$ ?) et dans ce cas on peut en extraire une sous-suite convergente (Bolzano-Weirstrass), soit elle ne l'est pas et dans ce cas on peut construire une sous-suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon les cas en ne gardant que les termes qui nous intéressent.
Par exemple, si une suite $(u_n)$ de R barre n'est pas majorée (par un réel) alors on peut construire une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ avec $\phi (0) = 0$ et pour tout entier n, $\phi (n+1) = min \{ m | m > n \text{ et } u_m > u_\phi(n) \}$. Cette sous-suite va tendre vers $+\infty$ qui est un élément de R barre. On peut faire le même raisonnement avec $-\infty$ si u n'est pas minorée.
Voilà, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtises
Merci pour vos réponses.
Cela dit, le « 1) » pose problème quand on s’attaque aux énoncés sans métrique-epsilon-delta car on ne sait plus démarrer. Les réflexes sont inopérants. Ce doit être notamment pour ça qu’il existe l’école « 2) », me dis-je.
@Dom Bonne question. Du peux que je connais la topologie générale et la topologie dans un espace métrique me paraissent bien différentes passées les définitions d'ouvert et de fermé. Je pense que ça doit dépendre de l'objectif recherché. Si j'avais plus de temps j'aurais bien opté pour le 2).
Ce n'est pas grave du coup mais si j'avais compris ça aurait pu me faire un exercice comme suggéré par @agregagreg2. D'ailleurs, j'irais jeter un œil à l'ouvrage dont il m'a parlé. Peut-être que d'ici là, et grâce aux réponses que j'ai eu dans ce sujet, je comprendrais un peu mieux.