Algèbre linéaire sans extension de corps
Étant actuellement dans la montagne je ne souffre pas de la canicule et
je peux penser à autre chose que des questions de thermodynamique 😉
Les
cours d'algèbre linéaire de L2 sont un peu tous semblables (sans jeu de mots). À un moment on
parle de sous-espaces caractéristiques et on montre dans le cadre de la
"décomposition spectrale" que si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est scindé
la dimension des sous-espaces caractéristiques correspond exactement à
la multiplicité algébrique des valeurs propres associées. Je me suis demandé ce qu'il se passait dans le cas non scindé.
Première surprise, 100% des auteurs que j'ai consultés (sur un échantillon de 2/3 : Lelong-Ferrand/Arnaudiès et Gourdon) ne définissent les sous-espace caractéristiques que dans le cas scindé. Deuxième surprise, pour démontrer le résultat sur la dimension des sous-espaces caractéristiques dans le cas non scindé je n'arrive pas à me passer d'extension de corps, ce qui est embêtant car on déborde alors du programme. J'ai un peu cherché et j'ai trouvé d'autres problèmes plus ou moins reliées que je sais résoudre simplement avec une extension du corps de base mais a priori pas autrement.
Première surprise, 100% des auteurs que j'ai consultés (sur un échantillon de 2/3 : Lelong-Ferrand/Arnaudiès et Gourdon) ne définissent les sous-espace caractéristiques que dans le cas scindé. Deuxième surprise, pour démontrer le résultat sur la dimension des sous-espaces caractéristiques dans le cas non scindé je n'arrive pas à me passer d'extension de corps, ce qui est embêtant car on déborde alors du programme. J'ai un peu cherché et j'ai trouvé d'autres problèmes plus ou moins reliées que je sais résoudre simplement avec une extension du corps de base mais a priori pas autrement.
Quelques exemples :
1) Le polynômes caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes facteurs irréductibles.
2) Si $P$ est un facteur non constant du polynôme caractéristique $\chi_u$ alors $\ker(P(u))$ est non trivial.
3) La dimension d'un sous-espace caractéristique est majorée par la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.
4)
Si l'on note $u_\lambda$ la restriction de $u$ au sous-espace
caractéristique associé à la valeur propre $\lambda$ alors
$\chi_{u_{\lambda}}(X) = (X-\lambda)^k$.
Est-ce que vous savez démontrer ces résultats sans passer par des extensions du corps de base ? Et si possible en restant au niveau élémentaire d'un cours de L2...
Est-ce que vous savez démontrer ces résultats sans passer par des extensions du corps de base ? Et si possible en restant au niveau élémentaire d'un cours de L2...
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Réponses
Il existe une solution élémentaire : voir l’exercice 20 de
http://vonbuhren.free.fr/Agregation/Exercices/agreg_algebre_lineaire_exercices.pdf
- Il me semble que 2 est immédiat avec 1, sinon on peut contredire la minimalité du polynôme minimal.
- Pour le 3, est-ce que tu pourrais préciser tes définitions si le polynôme caractéristique n’est pas scindé ? J’ai un petit doute qui risque de me faire répondre complètement à côté.
- Pour le 4, je crois que le lemme des noyaux suffit (en combinant avec 1).
Un lapin répondant à un renard, ça me met en joie pour la journée
Cordialement,
Rescassol
Voire... Elle a été signalée dans la RMS au milieu des années quatre-vingt et je l'ai conseillée à un ancien élève qui passait l'oral de l'agrég, sur le thème : ça va épater le jury. Eh bien, crois-moi si tu veux, mais il a coincé au mitan de la démonstration et personne dans le jury n'a su le sortir du bourbier !!
Je précise un peu les liens entre les divers problèmes que j'ai évoqués. Si l'on connait 1) on peut démontrer 2) en utilisant le lemme des noyaux et la minimalité du polynôme minimal. Si l'on connait 2) on peut démontrer 1) en utilisant le lemme des noyaux et le fait que le polynôme minimal soit annulateur. Si l'on connais 1) alors on peut démontrer 4) (et même un peu plus) comme l'a expliqué Raoul. Une fois qu'on a 4) on démontre simplement 3) et même avec une égalité pour la dimension.
Je connais bien le lemme des noyaux mais, sauf erreur de ma part, pour démontrer 1) ou 2) il manque un ingrédient (l'exercice de MrJ ou une extension de corps). Une fois qu'on à ça le reste en découle assez rapidement.
Foys, Homo topi : Disons qu'il y a un programme et qu'il ne serait pas très correct que je ne le finisse pas, d'autant plus qu'il est raisonnable et qu'il laisse assez de libertés. D'ailleurs les questions de ce fil ne sont, à strictement parler, pas au programme. Mais je suis limité par le temps et il y aurait des choses plus "pertinentes" à faire que de parler d'extensions de corps dans le temps imparti.
Du coup, je n'ai pas bien compris : tu t'autorises l'utilisation de Cayley-Hamilton pour démontrer tes différentes propriétés ?
Parce que 1) en est une conséquence assez directe tout de même.
@john_john : Il ne me semble pas que l’exercice 20 que j’ai mentionné dans mon message précédent ne suffit pas pour prouver Cayley-Hamilton, sauf si j’ai loupé quelque chose ?
Il avait été donné par gai requin il y a un an (Claude Quitté le lui a communiqué dans l'oreillette ).
C'est ici en deux lignes.
Je ne parlerai probablement pas sérieusement de polynômes à plusieurs indéterminées mais on peut facilement bidouiller un truc avec la factorisation de $a^n-b^n$.