Changement de numéraire, évaluation risque neutre

chris_51000 · August 2022

Bonjour
Je me permets de vous solliciter encore une fois concernant la question suivante qui me pose problème.
J'ai compris que l'évaluation risque neutre signifie que l'espérance de la dérivée actualisé au temps T vaut le prix de la dérivée au temps 0.
Je comprends aussi ici qu'il faille faire un changement de numéraire avec le money market account, mais je ne sais pas rédiger cela.
Est-ce que vous pouvez m'aider ?
Merci beaucoup
Christophe

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Positif · August 2022

Je ne pense pas que tu aies vu cela, car ta "formulation" du problème me semble bizarre.

En environnement certain :

le coupon acheté en $t$ qui paye 1 euro à la date $T$, de prix $P(t, T)$ vérifie : \[ P(t, T) = e^{-\int_t^T r(s) ds }\] ---------------------------------------------------------------------------------

Se placer sous la proba risque neutre, c’est d’abord une modélisation qui nous dit qu’il existe une probabilité sous laquelle le processus $\left( \hat{P} (t, T) \right)_t $ défini par : \[ \hat{P} (t, T) = e^{-\int_0^t r(s) ds } P(t, T) \] est une martingale. Ainsi, \[ \hat{P} (t, T) = \mathbf{E} \left[ \hat{P(T, T) } | \mathcal{F}_t \right] \] et donc en supprimant l’actualisation :

\[ P (t, T) = \mathbf{E} \left[ e^{-\int_t^T r(s) ds } | \mathcal{F}_t \right] \]

Évalué au temps $t = 0$ cela devient \[ P (0, T) = \mathbf{E} \left[ e^{-\int_0^T r(s) ds } \right] . \]