Oral X-ENS équivalent
Réponses
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HT : regarde la forme de l'intégrale à laquelle on a abouti. Le TCD est donné. Les hypothèses sont loin d'être coûteuses, on est dans le cas de fonctions bornées par une constante facile et continues sur un segment donc toutes intégrables.
C'est plus facile que de prendre les outils de L1 mais j'ai délibérément choisi d'aller vers le DL de l'exponentielle, qui donne facilement le résultat au prix d'un léger calcul. Et cela permet de voir si OS va tomber dans un certain piège (si il ne connait pas le TCD).
Julian : oulah, tu vises très loin !
Déjà les probas continues, ensuite l'espérance conditionnelle, ensuite les chaînes de Markov...
Il en a pour des années ! L'espérance conditionnelle et les chaînes de Markov sont déjà des murs pour de très bons étudiants qui ont besoin de beaucoup de maturation, alors pour l'homme qui refuse à tout prix de comprendre ce qu'il fait, je n'imagine même pas la catastrophe à venir.
On a encore le temps avant les processus markoviens de saut ou les martingales à temps continu et mouvements browniens. -
Je n'ai jamais vu comment intégrer un DL avec des bornes. Je sais primitiver un DL c'est tout. Mais comment calculer $\int_{0}^1 o(x) dx$ ?
Avec le théorème de convergence dominée :
$\forall x \in [0,1] ,\ \ x^{1/ (n+1)} \geq x$ donc $ - x^{1/ (n+1)} \leq x$.
On remarque que $x^{1/ (n+1)} \longrightarrow 1$.
Posons $f_n(x)=\exp(1-x^{1/ (n+1)})$, la suite $(f_n)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$.- $(f_n(x))$ converge vers $\exp(1-1)=0$.
- $|f_n(x)| \leq \varphi(x)=e^{1-x}$ avec $\varphi$ intégrable.
Donc $\boxed{I \sim \dfrac{1}{n}}$
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Je ne crois pas avoir déjà vu un résultat permettant de calculer un truc du style $\displaystyle \int_a^b o(f(t))dt$. Pas étonnant : le but du $o$ est de bazarder les trucs "négligeables" (donc qui n'apportent rien d'utile à ce qu'on veut faire), on ne connait souvent pas l'écriture exacte du $o$ donc obtenir la valeur exacte d'une telle intégrale semble compromis. En plus, un $o$ c'est ponctuel, pas vraiment réparti sur un intervalle. Je pense que primitiver le $o$ est la seule opération possible/utile, c'est probablement de ça qu'il parlait. "Intégrer" et "primitiver" sont souvent utilisés comme synonymes.
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Ça ne veut rien dire intégrer o(x), c'est une classe de fonctions...
Mais là, en plus de ça, on a du $o(1 - u^{\frac{1}{n+1}})$, qui donne une information quand $n$ tend vers l'infini, mais dépend en plus de chaque $u$.
On pourrait dire que le reste est de la forme $\epsilon(u, n)(1 - u^{\frac{1}{n+1}})$, avec $\epsilon(u, n)$ tendant vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini pour tout $u$. Une notation en $o()$ n'est vraiment pas commode.
Les moyens de se dépêtrer demandent de connaître un minimum la fonction $\epsilon$.
On a quand même un résultat pour une certaine famille d'intégrales à paramètres de fonctions positives : celles dont la dépendance en $n$ (ou $x$) ne se situe en quelque sorte qu'au niveau des bornes, pour lesquelles on a le droit d'échanger relation de comparaison et intégrale si les intégrandes sont équivalentes/négligeables/dominante et dominée en l'infini.
Et je voulais voir si en utilisant le DL (je partais du principe que tu ne connaissais pas le TCD je rappelle) tu serais tombé dans le piège d'intégrer $o(1 - u^{\frac{1}{n+1}})$ sans justification, ou si tu allais justement utiliser le théorème auquel je fais référence en disant vaguement "par sommation des relations de comparaison".
Il fallait effectivement expliciter le reste (soit sous forme intégrale ou simplement le contrôler par Taylor-Lagrange) pour s'en sortir sans TCD. -
Tu connais trop de trucs @Riemann_lapins_cretins c'est fou.
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Tout le monde connaît ça ici. Je suis même un membre plutôt moyen face aux monstres qu'il y a sur ce forum. Mais j'essaie d'être pédagogue.
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Ce message d'@Oshine est juste magique !Il y a une faute ou une imprécision à CHAQUE LIGNE !Dans l'ordre :
- Oubli de quantification et erreur de signe
- Oubli de quantification et imprécision
- Oubli de quantification et deux imprécisions
- Oubli de quantification, imprécision et erreur de calcul
- Oubli de quantification et imprécision
Les deux dernières sont les seules à être correctes (encore faut-il savoir ce qu'est $I$... et pourquoi la notation $I$ ne dénote pas la variation avec $n$...) -
On ajoute le compliquage de vie à la OShine qui préfère passer 50 lignes à écrire des inégalités plutôt que de dominer directement par $e$...
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@Riemann_lapins_cretins c'est bien pour ça que je disais "un truc du style". Même si tu écris ton $o(f(x))$ comme $f(x)\varepsilon(x)$, sous conditions tu pourrais être tenté par une IPP mais il faut connaitre plus de choses sur $\varepsilon$ que ce qu'on sait en général quand on écrit un $o$.@OShine les autres trucs que RLC mentionnait ci-dessus sont plus des bidouilles "ad hoc" dont on peut vouloir se servir ici parce qu'on est dans un cas particulier où ça pourrait servir, que des méthodes standard à connaitre absolument. Tu as déjà deux façons de faire : ma méthode basique et calculatoire qui est, à mon avis, la plus importante à savoir faire dans ta situation, et la méthode avec le TCD si le théorème est au programme et que, comme par chance c'était le cas ici, les hypothèses se vérifient sans trop de boulot.
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Plus longue que le changement de variables + TCD ? J'en doute. Et ma version sert souvent, justement parce qu'elle est basique. Apprends les deux !
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@OShine
En maths, l'objectif n'est pas d'écrire des trucs et des trucs et encore des trucs, jusqu'à avoir une version à peu près juste.
L'objectif est que chaque truc qu'on écrit soit juste.
Si tu réécris ce fameux message à peu près correctement, ça prouvera quoi ? ça prouvera que le OShine de 15h45 est vraiment nul, parce que même le OShine de 21h00 peut faire mieux. Mais ça ne prouvera pas que le OShine de 21h00 est doué.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ta plus grosse erreur, c'est d'imaginer que recopier des trucs et des machins que tu ne comprends pas, ça peut te servir à quelque chose.
D'ailleurs, tu dis toi-même en ligne suivante : tel truc, ça fait 2 ans que tu ne l'as pas utilisé. Et donc ça justifierait des oublis.
Quand on travaille de manière correcte, on fait ce qu'il faut pour apprendre des nouveaux trucs, et surtout, pour retenir les trucs qu'on a appris auparavant.
Si tu oublies les trucs que tu as travaillé il y a 2 ans, tu en conclues quoi ?
Et tout ce que tu as appris au lycée, et que tu as oublié, mais que tu ne veux pas réviser, tu en penses quoi ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ma version est celle qui me vient en tête par lecture heuristique : on voit que l'intégrale de Taylor est de limite presque nulle sauf en 1, à cause du $x^{n}$. De plus, on est conduit à soupçonner un équivalent en $\frac{C}{n+1}$, soit en utilisant le fait que tout devient nul sauf en 1 donc, et en remplaçant les quantités indépendantes de $n$ par leur valeur en 1 (ici donc l'exponentielle remplacée par $e$) et intégrant ce qu'il reste, soit en encadrant l'exponentielle entre 1 et $e$ qui donne déjà du $O(\frac{1}{n+1})$ et invite à conjecturer un équivalent du même ordre de grandeur.
On a envie de se débarasser de ce $x^{n}$ pour avoir autre chose qu'une limite presque nulle à exploiter et faire apparaitre le $\frac{1}{n+1}$. Bah comme par hasard, en faisant disparaître le $x^{n}$ (en faisant le changement de variable $u = x^{n+1}$ plutôt qu'un changement de variable au pif...), on a tout ce qu'on veut à la fois : le $n+1$ au dénominateur, et au numérateur une "vraie" fonction qui donnera autre chose qu'une simple limite nulle : on sait qu'on a gagné en calculant simplement la limite non nulle de cette intégrale.
Je ne trouve pas que ce soit vraiment du ad hoc. Ce sont juste les idées qui viennent en essayant de deviner les choses (bon, sachant que je suis loin d'avoir farmé les classiques de concours donc je ne connais pas vraiment de méthodes pour trouver des équivalents d'intégrales, peut-être donc que je n'ai pas les réflexes les plus efficaces face à ce genre de problèmes). -
Vous êtes tellement méchants envers OShine. Ses threads représentent 25% du contenu du forum et chacun d'entre eux génère plus de 100 réponses. Osons-le dire, c’est le pilier de la vie communautaire du forum.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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@Riemann_lapins_cretins je ne comprends pas du tout ce raisonnement, personnellement. Certes, l'intégrale fournie par Taylor a un intégrande de limite $0$ sauf en $1$, mais, et alors ? C'est une intégrale, donc une aire, donc la valeur en $1$ ne donne qu'une information partielle... pourquoi "remplacer les quantités indépendantes de $n$ par leur valeur en $1$" aurait la moindre légitimité ? lntégrer quel reste ? Je ne comprends vraiment pas comment tu justifies ton bazar.Mais ça m'intéresserait de comprendre. Tu peux me rédiger ta façon de faire, avec les calculs et justifications propres ?
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Bah je cherche un équivalent d'une quantité nulle. La quantité est nulle parce que j'ai une limite de fonction nulle presque partout. Ça m'embête parce que ça ne m'informe pas vraiment quel rôle joue vraiment $n$ dans la nullité de l'intégrande. Je veux l'isoler et le sortir de l'intégrale pour avoir une fonction exploitable.
Le but c'est de faire apparaître une quantité de la forme $f(n).I(n)$ avec $I$ une intégrale de limite non nulle. Ça voudra dire que j'aurai réussi à isoler la véritable contribution en $n$ de la nullité de l'intégrale, et que donc mon $f(n)$ est l'équivalent que je veux à constante près.
D'où l'idée de jarter la puissance, puisqu'elle est coupable de la nullité de la limite ; elle est susceptible de cracher le morceau sur la manière dont $n$ est responsable. On trouve bien $\frac{1}{n+1}$, ce qui rassure quant aux conjectures qu'on a pu faire avec des encadrements grossiers, et une intégrale de limite non nulle.
L'idée de remplacer par la valeur en 1 c'est simplement parce que la forme de la limite presque nulle nous dit que la contribution importante de l'intégrale est autour de 1 (c'est presque plat puis ça doit monter d'un coup vers 1 au fur et à mesure que n augmente). C'est encore une fois une heuristique. Je ne sais pas vraiment à quel moment la courbe grimpe vers 1 certes, mais encore une fois je veux juste l'ordre de grandeur. -
Mouais. C'est pas hyper clair, je trouve.
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C'est une heuristique. Je vois où l'aire de l'intégrale est concentrée, j'ai envie de faire comme si le reste n'existait pas vu qu'il est clairement négligeable étant donnée l'allure de la courbe pour mener à la limite "0 puis 1". A une vache près, autour de la zone qui compte l'exponentielle peut être prise comme étant égale à sa valeur en 1, et j'intègre entre 0 et 1 un peu arbitrairement en me doutant que ça ne risque pas de changer fondamentalement l'ordre de grandeur.
Mais au final c'est secondaire, ça ne sert qu'à avoir une conjecture. Ce qui compte c'est d'avoir réussi à sortir la "nullité de la limite" de l'intégrale.
Enfin bon, chacun sa manière de trouver ses conjectures. Toi, le "à une vache près" n'est pas ta tasse de thé, et je crois que tu attends une justification trop rigoureuse de ce qui a vaguement guidé mon intuition.
Sans doute que l'idée de remplacer par la valeur en 1 peut conduire à une conjecture fausse, mais disons que je pense avoir mes chances étant donné que la partie plate sur [0, ?] doit sûrement être d'un ordre en n bien plus faible que la partie croissante autour de 1.
Dans le cas particulier de cette intégrale de toute manière on pouvait aussi tout simplement encadrer l'exponentielle comme j'ai dit dans le message d'avant pour soupçonner l'ordre de grandeur.
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Tu comprends tous les théorèmes, tu les connais, tu connais parfaitement ton cours... oui, tu le répètes en permanence, on le sait. Mais tu ne sais pas utiliser toutes ces connaissances.
Parce que pour ça, il faut savoir réfléchir.
Et dès qu'il faut réfléchir, tu es aux abonnés absents.
Tu n'y peux rien. Tu n'as pas été formé à ça quand tu avais 6 ou 10 ans, et ce n'est pas à 35 ans que tu peux apprendre ça.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
$\frac{1}{n+1}\leqslant \{(n-1)!e \} \leqslant \{n!e\} \leqslant \frac{1}{n-1}$ donc l'équivalent demandé est $\frac{1}{n}$ .
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Mais tu es qui pour faire ce genre de réponse ??Quel culot...
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C'est quoi l'erreur dans ce raisonnement ? J'ai utilisé le théorème de convergence dominée avant de faire le changement de variable pour éviter les racines n-ièmes.
[Pour éviter de transformer le forum en panneau publicitaire, prière de mieux cadrer les photos ! Merci. AD] -
Il n'y a aucune erreur, tu calcules juste la mauvaise quantité. On a montré précédemment que :
$\int_0^1 x^n e^{1 - x} dx \sim \frac{1}{n} \to 0$
Le cerveau n'est pas fait pour travailler la nuit, tu devrais te reposer et réfléchir aux remarques qui t'ont été faites, ça te sera beaucoup plus utile à mon avis. -
@OShine : obtenir la convergence vers $0$ ne nécessite pas l'emploi du théorème de convergence dominée. Pour n'importe quelle fonction continue $f$ sur $\left[0,1\right]$, tu as très simplement $\int_0^1 x^n f\left(x\right) \, dx \to 0$. Ce qui ne répond pas à la question : "Déterminer un équivalent de $\left(\int_0^1 x^n f\left(x\right) \, dx\right)$ ".
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Je crois qu'il est temps de fermer ce fil...
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L'exercice est résolu de toute façon avec deux méthodes différentes en plus.
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Trois en fait. J'ai proposé une méthode par sommation des équivalents.
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Comment savoir la nature de la série de l'équivalent ?
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Bonjour
De l'énoncé initial (je n'ai pas lu les trois pages) on ne pourrait pas profiter de la formule de Stirling et envoyer la factorielle au Diable ?
Ceci dit je ne reste pas (m'incendiez pas trop mais je vois que ça galère, je n'ai pas eu le courage de me taper ces trois pages).
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...parce que bon c'est pas tellement la factorielle en soit que je n'aime pas là-dedans et que je veux me débarrasser tout de suite car je sais bien que je vais la retrouver plus loin (et même plusieurs) mais pas dans ce rôle là.
Voilà oupsss je suis parti (bon courage). -
Placer Stirling ici était donc une mauvaise idée.
ok dsl -
En fait c'est le contraire de ce qu'on peut penser en regardant l'énoncé trop vite : la factorielle nous rend service.
Si c'était $n^{2}$ plutôt que $n!$ on aurait bien plus de mal.
En plus de ça je ne suis pas certain qu'un équivalent d'une suite tendant vers l'infini comme Stirling puisse donner des informations sur la partie fractionnaire de ladite suite. -
Sans Stirling je ne vois pas comment faire par sommation des équivalents.
Pour sommer les équivalents il faut déjà trouver un équivalent. -
Oui RM je viens de voir en lisant la première page que tu as dis cela
Effectivement placer Stirling ici ne sert à rien
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Indication : $(k+1)! = (k+1) \times k!$
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Décidément, tout le monde se prend pour RM aujourd'hui !
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Ah pardon mais ok vous c'est RLC (je préfère vous nommer par les initiales car je n'ose pas (enfin je me vois mal le dire ni le penser)
Ceci dit j'avais fini (et d'ailleurs je me suis trompé comme vous l'avez souligné aussi tout comme L (là non plus je n'ose pas) -
Il faut soigner cette phobie des lapins !
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Il doit être marin.
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Ça je sais mais je ne vois pas quoi en faire.
En fait je ne comprends même pas ce qu'il faut faire.
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@OShine : Ce qu'il faut faire ?
- c'est réfléchir.
- Une fois que tu as réfléchi et que tu n'y arrives pas, tu te remets à réfléchir (longtemps).
- Si rien ne vient c'est que X-ENS propose des exercices qui ne te sont pas destinés.
- À mon avis, c'est ce dernier cas qui te concerne et donc mon conseil : arrête-toi, inscris-toi dans une formation ou bien cherche un prof particulier en ligne à la hauteur de tes difficultés et de tes ambitions (attention, vu l'écart entre les deux, ça va te coûter cher en temps et en euros si tu veux progresser).
- De façon un peu plus brutale, de ce que je peux conclure de tes non-progrès depuis des années sur ce forum, je dirais qu'il ne faut pas s'entêter à vouloir être champion de crawl quand on est manchot.
- La stupidité de tes remarques concernant les réponses/idées qui te sont gentiment données et ton manque de respect à ceux qui prennent le temps de te les donner font que, jamais plus, je ne répondrai à tes questions mathématiques (je rêve que les autres intervenants fassent de même, mais ça c'est du rêve).
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Le problème c'est que toi tu n'aurais pas pu être posé à un oral de Centrale Mines.
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