Calcul d'une Intégrale

bd2017

August 2022 Modifié (August 2022) dans Analyse

Bonjour
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2331079/integrale-mercredi-3-aout#latest

Dans le sujet "intégrale du 3 juillet" j'ai été amené à calculer $$I=\int_0^{2 \pi}  \arctan \big(1 + \sqrt{2} \sin(x) \big) dx $$ que je sais calculer mais de façon un peu compliquée. 

Je propose donc  le calcul  de $I$ en espérant une solution plus simple.

À noter que Wolfram  donne une réponse après un long moment mais la réponse est inexploitable.

 

Réponses

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  Fin de partie

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Intégrale qui est égale à, $\displaystyle I=\frac{\pi^2}{2}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arctan\left(\sin^2 x\right)dx$

  
  

  PS:

  Comme signalé par Bd2017 j'avais oublié un facteur devant l'intégrale.

  
  

  ? intnum(x=0,2*Pi,atan(1+sqrt(2)*sin(x)))
  %3 = 3.593095251464741424327004873
  ? Pi^2/2-2*intnum(x=0,Pi/2,atan(sin(x)^2))
  %1 = 3.593095251028562476582872843

  
  

  
  
  
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  Fin de partie

  August 2022

  Wolfy est plus à l'aise avec cette dernière intégrale.
  
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  bd2017

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Merci,  mais sauf  erreur je ne vois pas d'égalité   (même numériquement). 
  

  edit:  Il me semble que la borne est $2 \pi$  et il manque un facteur $1/2$  devant l'intégrale
  

   
  
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  Fin de partie

  August 2022

  C'est plutôt un facteur $2$ merci pour ta vigilance.
  
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  bd2017

  August 2022 Modifié (August 2022)

  OK   mais  ma question reste inchangée. 
  

  En effet prenons un autre exemple mais  équivalent:   on  a $K_2= \int_0^{\pi/2} \arctan(1/8 (7 + \cos(x)) dx $  et  
  

  $K_1   = \int_0^{\pi/2} \arctan(\sin ^2 (x)) dx $  liés par la relation   $K_2=\dfrac{\pi ^2}{4} - 2 K_1$

  Pourquoi  Wolfram  sait calculer $K_1$  mais pas $K_2$  alors que j'ai plus de facilité pour calculer $K_1? $

  Autrement dit comment fait Wolfram  pour calculer $K_1?$  C'est ma  question car je pense qu'il doit y avoir un moyen plus simple.     
  

   
  

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