Calcul d'une Intégrale
Dans le sujet "intégrale du 3 juillet" j'ai été amené à calculer $$I=\int_0^{2 \pi} \arctan \big(1 + \sqrt{2} \sin(x) \big) dx $$ que je sais calculer mais de façon un peu compliquée.
Je propose donc le calcul de $I$ en espérant une solution plus simple.
À noter que Wolfram donne une réponse après un long moment mais la réponse est inexploitable.
Réponses
-
Intégrale qui est égale à, $\displaystyle I=\frac{\pi^2}{2}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arctan\left(\sin^2 x\right)dx$PS:Comme signalé par Bd2017 j'avais oublié un facteur devant l'intégrale.
? intnum(x=0,2*Pi,atan(1+sqrt(2)*sin(x))) %3 = 3.593095251464741424327004873
? Pi^2/2-2*intnum(x=0,Pi/2,atan(sin(x)^2)) %1 = 3.593095251028562476582872843
-
Merci, mais sauf erreur je ne vois pas d'égalité (même numériquement).edit: Il me semble que la borne est $2 \pi$ et il manque un facteur $1/2$ devant l'intégrale
-
C'est plutôt un facteur $2$ merci pour ta vigilance.
-
OK mais ma question reste inchangée.En effet prenons un autre exemple mais équivalent: on a $K_2= \int_0^{\pi/2} \arctan(1/8 (7 + \cos(x)) dx $ et$K_1 = \int_0^{\pi/2} \arctan(\sin ^2 (x)) dx $ liés par la relation $K_2=\dfrac{\pi ^2}{4} - 2 K_1$Pourquoi Wolfram sait calculer $K_1$ mais pas $K_2$ alors que j'ai plus de facilité pour calculer $K_1? $Autrement dit comment fait Wolfram pour calculer $K_1?$ C'est ma question car je pense qu'il doit y avoir un moyen plus simple.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres