Deux points de Nobbs et un milieu
Bonjour,
un petit exercice
1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. DEF le triangle de contact
4. P, Q les points d'intersection de (EF), (DE) resp. avec (BC), (AB)
5. A'' le point d'intersection de la A-bissectrice extérieure de ABC avec (BC)
6. A* le milieu de [AA''].
Question : (PQ) passe par A*.
Merci pour votre aide pour la figure (que cela plaise ou non à usine).
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Magnifique exercice. Je me propose ici de traiter de façon élémentaire un cas très particulier. Dans $\C=\R^2$ euclidien, soit $B=(0,0)=0, A=(0,3)=3i, C=(4,0)=4$. On a alors $I=(1,1)=1+i$ en nommant $I$ le centre de $(I)$, $D=(1,0), F=(0,1)=i$ et, après quelques calculs élémentaires, $E=\frac{1}{5}(8,9), Q=(0,-3)=-3i, P=-2, A"=-6, A^*=-3+1.5i$. D'où il découle que $A^* \in (PQ)$. qed
merci pour vos preuves...
Il manque une preuve synthétique abordable aux débutants....
Sincèrement
Jean-Louis
Si Bouzar bouzarise, je vais rescassoliser:
Rescassol
Mais je ne me fais aucune illusion en la matière.
Il faut savoir rester lucide et surtout serein !
Amicalement
pappus
2. le quaterne (A, B, F, P) étant harmonique, deuxième proportion
3. en considérant le triangle AA*B et la ménienne (PQ), nous concluons par le théorème de Ménélaüs...
en considérant l'axe de Lemoine et par permutation circulaire, cet axe devient la droite de Newtion d'un certain quadrilatère....
Sincèrement
Jean-Louis
Pappus, voilà déjà la droite de Newton: $(uv+uw-vw)x+(uv-uw+vw)y+(uw-uv+vw)z=0$.
Cordialement,
Rescassol
Maintenant tout ce qui te reste à faire, c’est de vérifier que la tripolaire du perspecteur est la droite de Newton de la tripolaire du centre!
Passionnant en cette période de canicule!
Amicalement
pappus
Voilà à petite vitesse le centre de la conique en fonction de son perspecteur $I[p; q; r]$ :$$O = [p(q + r); q(p + r); r(p + q)]$$Cordialement,
Rescassol
Elles devraient figurer dans son glossaire!
Ainsi le centre de la conique inscrite est le complément de l’isotomique de son perspecteur!
Tu as tout ce qu’il faut maintenant pour achever la rédaction de ce misérable exercice!
Passe un bon après-midi à l’abri de la canicule!
Amicalement
pappus
Un peu de retenu...
Sincèrement
Jean-Louis
> Maintenant tout ce qui te reste à faire, c’est de vérifier que la tripolaire du perspecteur
> est la droite de Newton de la tripolaire du centre!
C'est fait, je trouve $[qr, rp, pq]$ pour les deux, c'est à dire $qr x+rp y+pq z=0$
Ce qui est curieux, c'est que ce sont les mêmes coordonnées que l'isotomique du perspecteur.
Peut on parler de dualité dans ce cas ?
Cordialement,
Rescassol
Non, je voulais dire entre le point $[p;q;r]$ et la droite $[p,q,r]$, c'est-à-dire d'équation $px+qy+rz=0$.
Cordialement,
Rescassol
Alors là, oui!
La droite en question s’appelle alors la droite duale du point $(p:q:r)$.
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves.
Amicalement
pappus
La droite duale d'un point est la tripolaire de l'isotomique de ce point.
Cordialement,
Rescassol
C'est le moment de tester la formule donnant l'excentricité d'une conique. On l'applique à la conique $x^2+y^2+z^2$ et on trouve: $${\frac {1-{e}^{2}}{ \left(2 -{e}^{2} \right) ^{2}}}={\frac {12\,{S}^{2}}{ \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) ^{2}}} $$ Que peut-on en conclure ?
Cordialement, Pierre.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/15. 0. Droites passant par un point de Nobbs.pdf
Problème 18.
Sincèrement
Jean-Louis