Recherche d'exemples d'illustration de la définition de solution d'un problème universel
Bonjour
Je découvre la théorie des catégories.
Je viens tant bien que mal d'apprendre la définition suivante :
Soit $F$ un foncteur de la catégorie $\mathcal{C}$ dans la catégorie $\mathcal{D}$. Soit $X$ un objet de $\mathcal{D}$. On appelle objet de $\mathcal{C}$ attaché à $X$ par le foncteur $F$ un couple $(A,u)$, où $A$ désigne un objet de $\mathcal{C}$ et $u$ une flèche de $X$ dans $F(A)$ telle que pour tout objet $A'$ de $\mathcal{C}$, l'application : $$ \begin{cases} Hom(A,A') &\to \ Hom(X,F(A'))\\ h &\mapsto \ F(h)u \end{cases}$$ est une bijection.
No comment !
La notion de problème universel m'intéresse car ici, l'auteur commence son livre par des exemples assez nombreux de problèmes universels qui m'ont intéressé (en particulier dans l'exemple 0.2 je crois, il définit la notion d'objet initial, rappelle que $Z$ est un objet initial de la catégorie des anneaux et montre que la démo de ce résultat ne dépend pas de la structure d'anneau ; il montre d'autres exemples relativement simples où, intuitivement, on comprend bien ce qu'est un "problème universel".
Mais la définition formelle rappelée plus haut est un choc pour moi en tout cas. À force de la relire, j'arrive à l'apprendre par cœur, je fais des dessins, mais il me manque quelques exemples bien choisis pour commencer de l'assimiler(sinon, au moins j'aurais progressé en LaTex )
J'en tiens UN fourni par Poitou-Jaffard(1971) :
Soit $\mathcal{D}$ la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, $\mathcal{C}$ celle des corps commutatifs et $F$ le foncteur d'inclusion de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{D}$. Étant donné un anneau $A$, notons $K$ le corps des fractions de $A$ et $u$ l'homomorphisme d'inclusion de $A$ dans $K$. Cela paraît simple de démontrer que $(K,u)$ est un objet de $\mathcal{D}$ attaché à $A$ par $F$.
Les autres exemples fournis par Jaffard-Poitou me sont moins parlants.
Disposez-vous d'exemples relativement simples mais particulièrement parlants pour illustrer la définition fournie ? Bref le genre d'exemple qui marche à tous les coups ?
Cordialement,
Je découvre la théorie des catégories.
Je viens tant bien que mal d'apprendre la définition suivante :
Soit $F$ un foncteur de la catégorie $\mathcal{C}$ dans la catégorie $\mathcal{D}$. Soit $X$ un objet de $\mathcal{D}$. On appelle objet de $\mathcal{C}$ attaché à $X$ par le foncteur $F$ un couple $(A,u)$, où $A$ désigne un objet de $\mathcal{C}$ et $u$ une flèche de $X$ dans $F(A)$ telle que pour tout objet $A'$ de $\mathcal{C}$, l'application : $$ \begin{cases} Hom(A,A') &\to \ Hom(X,F(A'))\\ h &\mapsto \ F(h)u \end{cases}$$ est une bijection.
No comment !
La notion de problème universel m'intéresse car ici, l'auteur commence son livre par des exemples assez nombreux de problèmes universels qui m'ont intéressé (en particulier dans l'exemple 0.2 je crois, il définit la notion d'objet initial, rappelle que $Z$ est un objet initial de la catégorie des anneaux et montre que la démo de ce résultat ne dépend pas de la structure d'anneau ; il montre d'autres exemples relativement simples où, intuitivement, on comprend bien ce qu'est un "problème universel".
Mais la définition formelle rappelée plus haut est un choc pour moi en tout cas. À force de la relire, j'arrive à l'apprendre par cœur, je fais des dessins, mais il me manque quelques exemples bien choisis pour commencer de l'assimiler(sinon, au moins j'aurais progressé en LaTex )
J'en tiens UN fourni par Poitou-Jaffard(1971) :
Soit $\mathcal{D}$ la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, $\mathcal{C}$ celle des corps commutatifs et $F$ le foncteur d'inclusion de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{D}$. Étant donné un anneau $A$, notons $K$ le corps des fractions de $A$ et $u$ l'homomorphisme d'inclusion de $A$ dans $K$. Cela paraît simple de démontrer que $(K,u)$ est un objet de $\mathcal{D}$ attaché à $A$ par $F$.
Les autres exemples fournis par Jaffard-Poitou me sont moins parlants.
Disposez-vous d'exemples relativement simples mais particulièrement parlants pour illustrer la définition fournie ? Bref le genre d'exemple qui marche à tous les coups ?
Cordialement,
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je tente un exemple, mais pas vérifié entièrement.
On peut prendre $\mathcal{D}$ la catégorie des ensembles et $X := \{ \emptyset \}$. Pour $\mathcal{C}$, on va prendre la catégorie des groupes. Pour $F$ on va prendre le foncteur $ F : \text{Grp} \to \text{Ens}$ donné par $G \mapsto \{ (a,b) \in G^2 \mid a^2 = b^4 = (ab)^2= e \}$.
On note $\mathbb{D}_4 := \langle x, y \mid x^2 = y^4 = (xy)^2 = 1 \rangle$, donc le groupe diédral de cardinal $8$. Et $u : \{\emptyset\} \to F(\mathbb{D}_4)$ donné par $\emptyset \mapsto (x,y^3)$. Et bien $(\mathbb{D}_ 4,u)$ est un objet de la catégorie de $\mathcal{C}$ attaché à $X$ par le foncteur $F$, j'ai bon ?
Je suis gêné par un détail de notations :
$\mathbb{D}_4$ est le groupe (défini à un isomorphisme près) engendré par deux éléments $x$ et $y$ tels que $x^2 = y^4 = (xy)^2 = 1$
$\mathbb{D}_4 := \langle x, y \rangle$
par exemple le groupe des symétries du carré où $x$ désignerait une symétrie orthogonale et $y$ une rotation d'un quart de tour.
C'est bien ça ?
Oui c'est ce que j'avais en tête pour $\mathbb{D}_4$.
c'est ça ?
Pas totalement au hasard tout de même, je n'ai pas pris $(e,e) \in F(\mathbb{D}_4)$ !
Un exemple du même genre que celui de flipflop (vu que tu aimes bien les anneaux !) c'est le foncteur qui envoie un anneau commutatif $A$ sur l'ensemble $A^n$. Ou peut-être $\{(x,y) \in A^2\mid x^2+y^2 = 1\}$, ou encore $\{(x,y,z) \in A^3\mid x^4+y^4 = z^4\}$.
Le premier est représenté par l'anneau polynomial $\mathbb Z[X_1,\dots,X_n]$ et les éléments universels $X_1,\dots,X_n$.
Le second, par le quotient $\mathbb Z[X,Y]/(X^2+Y^2 -1)$ - je te laisse deviner l'élément universel- , et le troisième je te laisse tout deviner.
@flipflop : ok (j't'avoue que j'avais un peu laissé tomber l'affaire mais du coup je vais m'y remettre). Intuitivement, j'avais l'idée que si un anneau possède deux éléments $x$ et $y^3$, alors on allait pouvoir en déduire quelque chose juste en faisant une permutation avec ceux de $\mathbb{D}_4 $... c'est une idée vague, peut-être fausse. L'intérêt que je vois à ton exemple est d'obliger à "rentrer dans le mécanisme de la définition"; je vais essayer de le faire. Mais si je patauge de trop, je laisse béton.
Je commence à bien tenir ton exemple. Mais soit $h$ l'unique morphisme de $\mathbb{D}_4$ que nous souhaitons avoir [il suffira pour cela de définir huit images, celle de $e,y,y^2,y^3,xy,yx,xy^2$ suivant la valeur de la fonction $f$ envisagée entre $X$ et $F(G)$, ici tout simplement l'image de $\varnothing$ par $f$. Il faut savoir ce qu'est $F(h)$, ce que tu n'as pas précisé. Comment définis-tu l'image d'un morphisme de groupes pour le foncteur $F$ ?
En quoi cet exemple m'a -t-il éclairé sur la notion de problème universel ?
1/ Pourquoi ce couple est bien dans $F(G)$ ?
2/ Montrer qu'il s'agit d'une bijection.
$$\text{Hom}(\mathbb{D}_4,G) \longrightarrow \text{Hom}(\{\emptyset\}, F(G))$$ entièrement puisque tu ne précises pas l'effet sur un élément
$$f \mapsto F(f)u $$ Ensuite, comme tu l'écrit, $X$ étant réduit à un singleton n'ayant que $\varnothing$ comme élément, $$\text{Hom}(\{\emptyset\},F(G)) \simeq F(G)$$
Merci beaucoup pour ton aide : ces artifices sont justement ceux que je recherchais pour faire le lien avec les exemples simples fournis par Tom Leinster dans le lien que j'ai fourni dans ma question initiale pour illustrer la notion de propriété universelle.
(Par exemple, une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.
Je pense qu'en adaptant ton exemple, on peut parfaitement l'illustrer quasiment comme dans l'exemple que tu as proposé.)
Pour moi, cela a été une recherche intéressante. Par exemple, en relisant des posts précédents, un contributeur propose un lien vers une page de Bourbaki écrite par Serre et Eilenberg, où l'on retrouve cette définition alambiquée de solution d'un problème universel (en pire ). Il fallait qu'ils fissent le travail mais heureusement maintenant c'est relativement plus simple. @+