@Homo Topi J'ai assez manipulé les parties entières pour ne pas avoir de difficultés avec celles-ci.
Marrant, j'aurais juré que tu as écrit un truc faux tout à l'heure parce que as fait "the" erreur du débutant sur la partie entière. Un peu d'humilité te ferait du bien... ce n'est pas en affirmant en permanence que tu sais faire des trucs, tout en affichant publiquement que tu ne sais pas faire lesdits trucs, que tu vas obtenir quelque chose de positif sur un forum.
RLC : "Rassure-moi, tu t'es déjà rendu compte que les développements en série
entière des fonctions qui en admettent coïncidaient avec leur
développement de Taylor ? "
Ben non, c'est pas le même chapitre de son livre .
Le plus inquiétant étant qu'il a passé dix fois plus d'heures devant ses cours de maths que la plupart des membres du forum.
Il serait temps d'arrêter de confondre "être physiquement présent devant un cours de maths" et "travailler ses mathématiques". Car ta tragédie OShine, c'est que toutes ces années, tu n'as jamais produit d'effort, donc de travail. Tu as juste investi ton temps à rester assis devant Dunod tout en un, et à recopier des énoncés d'exercices, parfois même leur correction, sur ce forum.
Ton manque de courage intellectuel te fait uniquement passer à côté de ta vie au nom de l'apprentissage des maths en pure perte. En plus de ça, tu ne les aimes pas. Tu as l'attitude d'un mauvais mari, qui ne fait qu'entretenir les apparences d'affection minimales, puis finit inévitablement par se plaindre, pleinement conscient de son hypocrisie : "Je ne comprends pas l'ingratitude et l'indifférence de ma femme, je fais pourtant semblant de l'écouter tous les soirs".
@RLC : Il a passé un nombre incalculable d'heures devant ses cours de maths mais tout seul, contrairement aux divers intervenants ici qui ont fait 5 ans d'étude supérieure en mathématiques face à des profs 30h par semaine. L'expérience OShine, c'est la démonstration que l'autodidactisme ne fonctionne pas.
D'accord avec @Cyrano. Je suis moi-même une preuve que c'est bien de s'intéresser à un truc, de vouloir le travailler seul au maximum, mais qu'on finit toujours par avoir besoin de l'intervention de quelqu'un de plus expérimenté.
"...un nombre incalculable d'heures devant ses cours de maths mais tout seul"
Tout seul devant ses cours, mais avec 200 intervenants sur différents forums, et cela après avoir eu ces cours en prépa ... Il me rappelle une jeune que j'ai entrainée en volley-ball, fille de deux volleyeurs, fana de volley, mais qui n'a jamais accepté de faire l'apprentissage des gestes élémentaires. Dans un match, elle jouait 2 mn, puis il fallait la remplacer, le adversaires jouant tout sur elle et étant sûrs de gagner le point. Il ne suffit pas d'envie et de volonté, il faut encore arrêter de placer la volonté au mauvais endroit, arrêter d'être con.
NB : j'ai appris seul probas et stats, pour pouvoir les enseigner. Et plein d'autres domaines auparavant. Ce n'est pas une excuse à mal apprendre.
Quand il était au lycée, au nom de je ne sais quelle politique, personne ne lui a dit qu'il avait de grosses lacunes. J'imagine qu'il était dans un lycée 'défavorisé', et donc on y distribuait le bac à tours de bras. Le problème a commencé là.
On lui a donné un bac bidon, on lui a donné un CAPES bidon, et on ne lui a jamais dit que tout ça était bidon.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
J'ai passé absolument toute ma scolarité à partir de ma L3 seul sans foutre un pied en cours, et sans aller demander de l'aide sur des forums, et ai majoré. Commencer à m'affranchir des contraintes pédagogiques des enseignants, du temps perdu, et profiter du luxe de réfléchir en direct pour assimiler le cours en le lisant et acquérir un maximum de recul rapidement m'a rendu encore bien meilleur que je ne l'étais pendant ma prépa. Aucun rapport entre autodidactisme et réussite (j'aurais tendance à dire que s'il y a un rapport il est plutôt positif pour peu qu'on ait fait au moins une année en étant encadré pour avoir des bases propres). Si vous comptez m'objecter que la preuve par mon exemple n'est pas valable, j'objecterais que la preuve par l'exemple d'OShine n'a pas de raison de l'être plus. La méthode de travail d'OShine serait exactement la même en rentrant le soir d'une journée de cours. Cours qu'il a déjà suivis par le passé en prépa et en école.
Tout est dans le "pour peu qu'on ait des bases propres". Je pense être en mesure de comprendre n'importe quel bouquin de maths qui est bien écrit et pour lequel j'ai toutes les bases. C'est un peu ça l'essence d'un bon enseignement. @OShine n'a pas toutes les bases, on le lui dit depuis des années, et il se bat à contre-courant pour retarder autant que possible le moment où il devra accepter qu'on avait tous raison tout du long.
Tu as juste investi ton temps à rester assis devant Dunod tout en un, et à recopier des énoncés d'exercices, parfois même leur correction, sur ce forum.
Depuis le temps, ça fait plaisir de relire RLC, il n'y a que lui pour sortir ce genre de phrase : rester assis devant Dunod tout en un 🤣
Mais je partage son avis sur OShine. Même en présentiel OShine tu n'arriverais pas à suivre à mon avis. Tu voudrais interrompre constamment le prof pour lui demander pourquoi ci ou pourquoi ça...
Les bases propres sont surtout l'état d'esprit mathématique. Comprendre à la fois que les définitions ne disent que ce qu'elles disent, qu'on doit inspecter rigoureusement tout ce qu'on écrit tant il est facile de se laisser aller à inventer des propriétés qui nous arrangent -même quand on est bon-, qu'un texte mathématique est bel et bien un texte au sens propre, et enfin que pour assimiler un cours, il est question non de mémoire, mais de fabriquer des édifices logiques, d'abord à échelle élémentaire (conséquences faciles des premières définitions), puis élaborée (savoir refaire les preuves de théorèmes non triviaux en les reraisonnant sans les recracher par cœur), puis globale (réfléchir au cours non pas dans le but de valider chaque étape de raisonnement comme on le fait dans ses premières lectures, mais le refaire de A à Z, pour en comprendre la logique profonde, éventuellement même le réorganiser pour être fidèle à ses goûts intellectuels : je savais que je connaîtrais mes cours à vie à partir du moment où je savais les refaire intégralement dans ma tête, des définitions aux derniers théorèmes, sans support physique quelconque). C'est 90% des bases, le reste étant quelques techniques élémentaires et astucieuses permettant d'attaquer des exercices inédits par soi-même. Et encore, les preuves sont souvent l'occasion d'apprendre une bonne partie de ces techniques.
Une fois l'état d'esprit mathématique acquis, je ne vois pas ce qui bloquerait un étudiant voulant apprendre seul avec des livres. L'autodidactisme existe depuis la nuit des temps et a produit quelques uns des meilleurs esprits de leurs domaines. S'il y a des échecs, j'interrogerais bien plus la méthode ou l'affinité mathématique des concernés que l'impossibilité d'apprendre seul.
Moi ma définition de l’apprentissage du chapitre de maths, cela consiste plutôt à relire 10 fois (ou cinq) un chapitre, une fois chaque soir pendant 10 jour. Même pour des chapitres “faciles”. Un livre de maths ne se lit pas comme un roman, il faut vraiment s’attarder sur chaque ligne, c’est un exercice d’assiduité qu’on ne retrouve dans aucune autre discipline.
Ou à attaquer sa première lecture le plus activement possible, en tentant de faire chaque démonstration par soi-même dans un premier temps, en faisant des dessins pour comprendre les définitions, etc etc
Je n'ai pas de difficultés sur les séries et les parties entières normalement. Ne pas réussir à faire un exercice de l'X c'est n'avoir rien compris ? RLC tu dois être surdoué la majorité des étudiants sont incapables de refaire toutes les preuves de tous les chapitres seuls. Dans les rapports beaucoup n'arrivent pas à citer tous les théorèmes avec précision. Ceux qui en sont capables ont un niveau intellectuel extraordinaire sûrement les candidats des ENS soit moins de 400 personnes en France chaque année. Plusieurs personnes du forum ont dit avoir été admis à l'agrégation interne sans étudier les démonstrations.
Rassure-moi, tu t'es déjà rendu compte que les développements en série entière des fonctions qui en admettent coïncidaient avec leur développement de Taylor ?
Non je n'ai pas travaillé les séries entières récemment. Mais je connaissais le développement de Taylor de l'exponentielle.
Plus insomniaque que surdoué pour m'amuser à refaire les cours de A à Z, mais mes quelques facilités (je le reconnais) ne font pas tout. L'excellence n'est pas un art, c'est une habitude.
Donc si tu n'as jamais vu de série entière comment connais-tu le développement en série de $e$ ? Et ce développement en série, comment as-tu pu ne pas le relier à la forme du développement de Taylor de la fonction exponentielle ? Et si tu as fait ce lien, comment peux-tu demander où se situe le rapport avec Taylor reste intégral ?
L'exercice suggéré de démontrer l'irrationnalité de $e$ repose exactement sur la même idée. Essaie de nous prouver que tu as compris un minimum les raisonnements postés par moi (pour la technique avec reste intégral) ou par les autres (pour la technique de manipuler directement la somme du reste en majorant) en résolvant cet exercice.
Honnêtement, je doute que quiconque sur ce forum ou ailleurs ait un jour su refaire toutes les démonstrations de tous les gros théorèmes au programme de l'agreg. Vu combien il y en a, ça demande une quantité de travail *absurde* de s'entrainer à "mémoriser suffisamment pour toutes les retrouver", travail qui est nettement mieux à investir ailleurs. Et je doute qu'il soit vraiment préjudiciable de ne pas savoir refaire par coeur l'unique démo effectivement demandée dans un sujet de concours. Au mieux, on demande de savoir refaire quelques théorèmes de L1-L2, mais même ça je trouve ça sans intérêt.
Je savais faire quelques démonstrations par coeur, toutes de niveau L1-L2, mais depuis je les ai absolument toutes oubliées, et je sais encore faire des maths.
Bof. Retenir des démos ou préparer un concours c’est la même chose. Préparer un concours c’est retenir par coeurs 50 exos “classiques” d’analyse et 50 exos d’algèbre, et maintenant 20 exos de probabilités. C’est pas très différent d’une démonstration retenue par coeur.
Qu’on ne me fasse pas croire qu’on peut “deviner” les zéros entrelacés d’une équation de Sturm-Liouville, ou le lemme de Gronwall ... Tu connais ou tu connais pas.
Ainsi, investir dans des théorèmes et en connaître les preuves me semble justement le bon esprit des mathématiciens, je préfère avoir un peu plus de savoirs et moins de savoir-faire . A la fin de chaque chapitre il y a des exercices donc on peut “pratiquer”. Mais si on ne connait pas les preuves, comment aborder de nouveaux concepts sereinement ?
Justement, le truc des "exos classiques" je trouve ça tout aussi débile. Déclarer que ceux qui sont "bons en maths" sont ceux qui ont appris (oserai-je dire, par coeur) telle liste essentiellement arbitraire de 100 exercices, c'est complètement naze. Je sais qu'il faut bien trouver une manière d'évaluer le niveau des gens, et je n'ai pas de super idée novatrice pour ça, mais cette façon-là de faire, elle ne me convainc pas du tout.
OShine a dit : Mais je connaissais le développement de Taylor de l'exponentielle.
Mais c'est bien le problème. Tu connais le cours, tu le connais par coeur. Si on te demande de réciter telle ou telle définition, tu es probablement capable de la réciter. Mais tu es incapable de réfléchir. Tu es incapable de recoller les morceaux. Tu connais telle définition, mais si personne ne te dit que c'est cette définition qu'il faut appliquer, tu ne devineras pas.
Je te conseille vraiment de jouer au sudoku et à des jeux similaires. Il n'y a aucune recette, aucun truc magique. Chaque nouvelle grille demande de réfléchir. En passant une heure par jour sur des grilles de jeux de ce type (en commençant par des grilles de niveau 'facile', puis intermédiaire quand tu y arrives facilement, puis en montant les échelons 1 par 1), tu feras des progrès en maths, beaucoup plus qu'en perdant ton temps comme tu le fais depuis des années.
Et si en passant 1 heure par jour, tu ne progresses pas non plus au Sudoku... tu sauras à quoi t'en tenir.
Essayons un autre parallèle. Imagine un type qui connaît toutes les fables de La Fontaine par coeur. On lui donne un titre, il récite la fable, immédiatement, sans avoir à réfléchir. Mais si on lui lit un vers quelconque, extrait d'une de ces fables, il est incapable de dire de quelle fable c'est extrait. Et donc, connaître toutes les fables ne lui sert strictement à rien, dès qu'on sort du registre basique : 'réciter telle fable'. Ce mec qui connaît toutes les fables, mais qui ne peut rien en faire, c'est toi.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Homo Topi a dit :mais cette façon-là de faire, elle ne me convainc pas du tout.
Tu as parfaitement raison et heureusement, ce n'est pas du tout l'esprit de l'apprentissage des maths dans le supérieur, y compris en CPGE malgré les affirmations idiotes de certains qui font croire aux esprits crédules que hors du Cassini point de salut.
X-ESPCI en PC c'est plus abordable qu'en MP. En MP je ne regarde même pas tellement c'est difficile. Voici une solution rédigée pour @Homo Topi qui ne voulait pas se fatiguer. Avec Taylor je n'ai pas encore trouvé mais ça doit être un bon exercice. Soit $n \geq 1$. On a $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!} = x+y$ où on pose $x= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!}$ et $y= \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!}$.
Pour tout $k \in [|0,n|]$ on a $k! \mid n!$ donc $x \in \N$.
Montrons que $y$ n'est pas entier. On a $0 < y = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \cdots \\ < \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{(n+1)^3}+ \cdots \\ = \dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{ 1}{1- 1/(n+1)}= \dfrac{1}{n} \leq 1$
Donc $\{ n! e \} = x+y - \lfloor x+y \rfloor= x+y - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor$. Mais $0 < y < 1$ donc $ \lfloor y \rfloor=0$. On obtient : $\{ n! e \} = y $ Soit $\boxed{\{ n! e \} = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!}}$ On a $0 \leq | (n+1) \{ n! e \} -1 | = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \cdots \\ < \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} \dfrac{1}{ (n+1)^k} = \dfrac{1}{ (n+1)^2} \times \dfrac{ 1}{1- 1/(n+1)} \\ = \dfrac{1}{ (n+1)^2 - (n+1)} \longrightarrow 0 $ Par le théorème d'encadrement, on en déduit $ | (n+1) \{ n! e \} -1 | \longrightarrow 0$ donc $(n+1) \{ n! e \} \longrightarrow 1$ Finalement $\boxed{\{ n! e \} \sim \dfrac{1}{n+1} \sim \dfrac{1}{n}}$
Je pense avoir compris la méthode avec Taylor-Lagrange, je vais écrire ça sur une feuille. Mais je n'aboutis pas. On sait que $f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{ f^{(k)}(a)}{k!} + \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)} (t) dt$ Avec $f(x)=e^x$, $a=0$ et $b=1$ j'obtiens $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!} + \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt$ Donc $\boxed{\{ n! e \} = \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt - \lfloor \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt \rfloor}$ Par changement de variable, on obtient : $\displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt = \displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-x} dx$ Je bloque à ce stade.
Justement, le truc des "exos classiques" je trouve ça tout aussi débile. Déclarer que ceux qui sont "bons en maths" sont ceux qui ont appris (oserai-je dire, par cœur) telle liste essentiellement arbitraire de 100 exercices, c'est complètement naze.
En ce qui me concerne je n'ai pas vraiment appris par cœur les exos classiques, je les ai travaillés pour en tirer une méthode générale qui permet de résoudre beaucoup plus de problèmes. Ce n'est quand même pas débile de retenir la méthode pour montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel ! Il se trouve qu'en apprenant la méthode qu'il y a derrière (ou juste que l'idée existe), je suis devenu capable de retrouver l'exo classique, mais ce n'est que la conséquence de mon apprentissage, pas le but en soi...
Oui car $0 < y <1 \implies E(y)=0$. Sinon $| \displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-t} dt | \leq e\displaystyle\int_{0}^1 e^{-t} dt = e ( 1/e-1)= 1-e^{-1} < 1$ Donc $\{ n! e \} = \displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt $ car $E( \displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt )=0$ Je ne vois pas comment trouver un équivalent de $\displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt $.
Je n'ai pas de difficultés sur les séries et les parties entières normalement. Ne pas réussir à faire un exercice de l'X c'est n'avoir rien compris ?
Les exos de math PC de l'X sont souvent assez faciles. En fait, la difficulté des exos de l'X en PC se trouve surtout en physique-chimie. Et arrête de dire que tu n'as pas de difficulté sur les séries quand tu ne sais même pas que Taylor-Lagrange se démontre à partir de Taylor avec reste intégral. Et surtout, arrête de prétendre ne pas avoir de difficultés sur la partie entière ! Comme ça t'a été rappelé, cette fonction pose des difficultés à tout le monde (donc à toi aussi) !
Heureusement que ce n'est pas comme si j'avais écrit ce qu'il fallait faire avec l'intégrale de Taylor dans la page précédente... Fais donc celui de l’irrationalité de e.
Je ne comprends pas ton changement de variable moi j'ai du $n$ et non du $n+1$. J'ai essayé $u=x^n$ mais je ne vois pas l'intérêt de la transformation. Car $du= n x^{n-1}dx$ ce qui donne $\boxed{I=\displaystyle\int_{0}^1 u^{1/n} e^{1-u^{1/n}} du}$ Je l'ai faite la preuve avec l’irrationalité de $e$ remonte les messages.
J'ai l'impression que le second changement de variable complique les choses, je ne comprends pas trop à quoi il sert pour trouver l'équivalent. J'avais pensé à une comparaison série intégrale, mais il ne me semble pas évident que la suite de fonction est monotone.
J'aimerais savoir faire avec la méthode Taylor-Lagrange il y 2 personnes du forum qui ont dit avoir réussi avec cette méthode. C'est par curiosité. Je ne sais pas j'ai fait le changement de variable au pif, je ne sais pas trouver un équivalent de $\displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-x} dx$
Ah d'accord, le changement de variable au pif, pourquoi pas. Il doit bien y avoir un théorème probabiliste qui dit que presque sûrement on tombe sur le bon.
Un peu d'heuristique : l'intégrande tend presque partout vers 0 à cause du $x^{n}$, sauf en 1. On peut donc faire comme si seule la valeur $x=1$ comptait et ignorer tout sauf la puissance de $x$ (qui apporte la nullité), puis remplacer l'exponentielle par sa valeur en 1. On a donc envie de se debarasser de ce $x^{n}$ pour mieux l'exploiter. Je pensais que, même sans l'heuristique, c'était ton but, rien que pour avoir une seule apparition de la variable muette. Mais comme tu vois, ton changement de variable n'aboutit pas à ça (bien qu'on puisse quand même s'en sortir avec, mais c'est moins joli et ça ne reflète pas un choix motivé).
Ca devient technique pour moi ces remarques, je suis bêtement ton changement de variable. $u=x^{n+1}$ donc $du=(n+1)x^n dx$. Ainsi $\boxed{I=\dfrac{1}{n+1} \displaystyle\int_{0}^1 \exp(1- u^{1 / (n+1)}) du}$ Je ne comprends pas l'intérêt de la transformation avec l'exponentielle $e^y = (e^y -1)+1$. Je ne trouve pas de primitive de $u \mapsto \dfrac{1}{n+1} \exp(1- u^{1 / (n+1)})$.
Je ne sais pas si OS connait le TCD au fait, peut-être qu'il ne peut pas finir. Pas besoin du DL au final en effet, mais à condition qu'il ait le théorème. À part ça, $e^{y} - 1$ devrait évoquer quelque chose instantanément à tout matheux.
Pour trouver un équivalent de $\displaystyle \int_0^1 x^n e^{1-x}dx$ :
Moi qui suis un blaireau en recherche d'équivalents... en voyant cette intégrale comme ça, je n'ai pas non plus une illumination miraculeuse, je ne sais pas tout de suite. MAIS. J'ai 2-3 idées avec mes outils basiques, alors je les essaie avant de baisser les bras.
Je
pose $I_n := \displaystyle \int_0^1 x^n e^{1-x}dx$. La première idée
qui me vient en voyant un intégrande de la forme $x^nf(x)$ est de tenter
une intégration par parties*. Dans un calcul d'intégrale, ça peut
aboutir à une relation de récurrence que vérifie la suite $(I_n)_n$ que je pourrai peut-être exploiter*.
Je
cherche la limite de $I_n$ pour me mettre sur la piste d'un équivalent*
(il me semble que c'est la méthode standard). Qu'est-ce que je sais sur
$I_n$ ? Je sais que $x^n \geqslant x^{n+1}$ sur $[0~;~1]$, donc mes
intégrales sont positives (donc minorées) et décroissantes, donc
$(I_n)_n$ converge vers un réel $L \geqslant 0$. Si $L \neq 0$, quand je
passe ma relation $I_{n+1} = nI_n - 1$ à la limite, j'ai $L = +\infty
-1$, ce qui est absurde, donc $L=0$. Mais dans ce cas, $\lim nI_n - 1 =
0$, donc $\lim nI_n = 1$, donc $I_n \sim \dfrac{1}{n}$.
@llorteLEG
a peut-être une version qui tient en une ligne, moi je ne suis pas très
sophistiqué. Mais avec quelques réflexes de L1, on trouve un équivalent
qui a l'air réaliste, sans galérer.
* @OShine tous ces points sont des raisonnements qu'on attend venir naturellement de la part d'un étudiant qui a bossé.
Personnellement, sortir le TCD quand on y arrive avec des outils de L1, ça me dérange un peu. En général, il faut vérifier plusieurs hypothèses pour l'appliquer, donc même si la conclusion tombe sans autre calcul, je ne sais pas si c'est plus court. Tu fais comment avec le TCD ?
Réponses
Il serait temps d'arrêter de confondre "être physiquement présent devant un cours de maths" et "travailler ses mathématiques".
Car ta tragédie OShine, c'est que toutes ces années, tu n'as jamais produit d'effort, donc de travail. Tu as juste investi ton temps à rester assis devant Dunod tout en un, et à recopier des énoncés d'exercices, parfois même leur correction, sur ce forum.
Ton manque de courage intellectuel te fait uniquement passer à côté de ta vie au nom de l'apprentissage des maths en pure perte.
En plus de ça, tu ne les aimes pas. Tu as l'attitude d'un mauvais mari, qui ne fait qu'entretenir les apparences d'affection minimales, puis finit inévitablement par se plaindre, pleinement conscient de son hypocrisie : "Je ne comprends pas l'ingratitude et l'indifférence de ma femme, je fais pourtant semblant de l'écouter tous les soirs".
L'expérience OShine, c'est la démonstration que l'autodidactisme ne fonctionne pas.
J'imagine qu'il était dans un lycée 'défavorisé', et donc on y distribuait le bac à tours de bras.
Le problème a commencé là.
On lui a donné un bac bidon, on lui a donné un CAPES bidon, et on ne lui a jamais dit que tout ça était bidon.
La méthode de travail d'OShine serait exactement la même en rentrant le soir d'une journée de cours. Cours qu'il a déjà suivis par le passé en prépa et en école.
Mais je partage son avis sur OShine. Même en présentiel OShine tu n'arriverais pas à suivre à mon avis. Tu voudrais interrompre constamment le prof pour lui demander pourquoi ci ou pourquoi ça...
PS. c'est ce genre de fil qui me fait dire ça.
C'est 90% des bases, le reste étant quelques techniques élémentaires et astucieuses permettant d'attaquer des exercices inédits par soi-même. Et encore, les preuves sont souvent l'occasion d'apprendre une bonne partie de ces techniques.
Une fois l'état d'esprit mathématique acquis, je ne vois pas ce qui bloquerait un étudiant voulant apprendre seul avec des livres.
L'autodidactisme existe depuis la nuit des temps et a produit quelques uns des meilleurs esprits de leurs domaines. S'il y a des échecs, j'interrogerais bien plus la méthode ou l'affinité mathématique des concernés que l'impossibilité d'apprendre seul.
Ne pas réussir à faire un exercice de l'X c'est n'avoir rien compris ?
RLC tu dois être surdoué la majorité des étudiants sont incapables de refaire toutes les preuves de tous les chapitres seuls.
Dans les rapports beaucoup n'arrivent pas à citer tous les théorèmes avec précision.
Ceux qui en sont capables ont un niveau intellectuel extraordinaire sûrement les candidats des ENS soit moins de 400 personnes en France chaque année.
Plusieurs personnes du forum ont dit avoir été admis à l'agrégation interne sans étudier les démonstrations.
Mais je connaissais le développement de Taylor de l'exponentielle.
Donc si tu n'as jamais vu de série entière comment connais-tu le développement en série de $e$ ? Et ce développement en série, comment as-tu pu ne pas le relier à la forme du développement de Taylor de la fonction exponentielle ? Et si tu as fait ce lien, comment peux-tu demander où se situe le rapport avec Taylor reste intégral ?
L'exercice suggéré de démontrer l'irrationnalité de $e$ repose exactement sur la même idée.
Essaie de nous prouver que tu as compris un minimum les raisonnements postés par moi (pour la technique avec reste intégral) ou par les autres (pour la technique de manipuler directement la somme du reste en majorant) en résolvant cet exercice.
Ainsi, investir dans des théorèmes et en connaître les preuves me semble justement le bon esprit des mathématiciens, je préfère avoir un peu plus de savoirs et moins de savoir-faire . A la fin de chaque chapitre il y a des exercices donc on peut “pratiquer”. Mais si on ne connait pas les preuves, comment aborder de nouveaux concepts sereinement ?
Mais c'est bien le problème. Tu connais le cours, tu le connais par coeur. Si on te demande de réciter telle ou telle définition, tu es probablement capable de la réciter.
Mais tu es incapable de réfléchir. Tu es incapable de recoller les morceaux. Tu connais telle définition, mais si personne ne te dit que c'est cette définition qu'il faut appliquer, tu ne devineras pas.
Je te conseille vraiment de jouer au sudoku et à des jeux similaires. Il n'y a aucune recette, aucun truc magique. Chaque nouvelle grille demande de réfléchir.
En passant une heure par jour sur des grilles de jeux de ce type (en commençant par des grilles de niveau 'facile', puis intermédiaire quand tu y arrives facilement, puis en montant les échelons 1 par 1), tu feras des progrès en maths, beaucoup plus qu'en perdant ton temps comme tu le fais depuis des années.
Et si en passant 1 heure par jour, tu ne progresses pas non plus au Sudoku... tu sauras à quoi t'en tenir.
Essayons un autre parallèle.
Imagine un type qui connaît toutes les fables de La Fontaine par coeur. On lui donne un titre, il récite la fable, immédiatement, sans avoir à réfléchir.
Mais si on lui lit un vers quelconque, extrait d'une de ces fables, il est incapable de dire de quelle fable c'est extrait.
Et donc, connaître toutes les fables ne lui sert strictement à rien, dès qu'on sort du registre basique : 'réciter telle fable'.
Ce mec qui connaît toutes les fables, mais qui ne peut rien en faire, c'est toi.
Voici une solution rédigée pour @Homo Topi qui ne voulait pas se fatiguer.
Avec Taylor je n'ai pas encore trouvé mais ça doit être un bon exercice.
Soit $n \geq 1$.
On a $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!} = x+y$ où on pose $x= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!}$ et $y= \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!}$.
- Pour tout $k \in [|0,n|]$ on a $k! \mid n!$ donc $x \in \N$.
- Montrons que $y$ n'est pas entier. On a $0 < y = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \cdots \\ < \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{(n+1)^3}+ \cdots \\ = \dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{ 1}{1- 1/(n+1)}= \dfrac{1}{n} \leq 1$
Donc $\{ n! e \} = x+y - \lfloor x+y \rfloor= x+y - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor$.Mais $0 < y < 1$ donc $ \lfloor y \rfloor=0$. On obtient : $\{ n! e \} = y $
Soit $\boxed{\{ n! e \} = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!}}$
On a $0 \leq | (n+1) \{ n! e \} -1 | = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \cdots \\
< \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} \dfrac{1}{ (n+1)^k} = \dfrac{1}{ (n+1)^2} \times \dfrac{ 1}{1- 1/(n+1)} \\
= \dfrac{1}{ (n+1)^2 - (n+1)} \longrightarrow 0 $
Par le théorème d'encadrement, on en déduit $ | (n+1) \{ n! e \} -1 | \longrightarrow 0$ donc $(n+1) \{ n! e \} \longrightarrow 1$
Finalement $\boxed{\{ n! e \} \sim \dfrac{1}{n+1} \sim \dfrac{1}{n}}$
On sait que $f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{ f^{(k)}(a)}{k!} + \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)} (t) dt$
Avec $f(x)=e^x$, $a=0$ et $b=1$ j'obtiens $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!} + \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt$
Donc $\boxed{\{ n! e \} = \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt - \lfloor \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt \rfloor}$
Par changement de variable, on obtient : $\displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n e^t dt = \displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-x} dx$
Je bloque à ce stade.
Il se trouve qu'en apprenant la méthode qu'il y a derrière (ou juste que l'idée existe), je suis devenu capable de retrouver l'exo classique, mais ce n'est que la conséquence de mon apprentissage, pas le but en soi...
Sinon $| \displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-t} dt | \leq e\displaystyle\int_{0}^1 e^{-t} dt = e ( 1/e-1)= 1-e^{-1} < 1$
Donc $\{ n! e \} = \displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt $ car $E( \displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt )=0$
Je ne vois pas comment trouver un équivalent de $\displaystyle\int_{0}^1x^n e^{1-x} dt $.
Et surtout, arrête de prétendre ne pas avoir de difficultés sur la partie entière ! Comme ça t'a été rappelé, cette fonction pose des difficultés à tout le monde (donc à toi aussi) !
Fais donc celui de l’irrationalité de e.
J'ai essayé $u=x^n$ mais je ne vois pas l'intérêt de la transformation.
Car $du= n x^{n-1}dx$ ce qui donne $\boxed{I=\displaystyle\int_{0}^1 u^{1/n} e^{1-u^{1/n}} du}$
Je l'ai faite la preuve avec l’irrationalité de $e$ remonte les messages.
J'avais pensé à une comparaison série intégrale, mais il ne me semble pas évident que la suite de fonction est monotone.
C'est pour ça que tu cherches une nouvelle solution, plus compliquée ?
Je ne sais pas j'ai fait le changement de variable au pif, je ne sais pas trouver un équivalent de $\displaystyle\int_{0}^1 x^n e^{1-x} dx$
Un peu d'heuristique : l'intégrande tend presque partout vers 0 à cause du $x^{n}$, sauf en 1. On peut donc faire comme si seule la valeur $x=1$ comptait et ignorer tout sauf la puissance de $x$ (qui apporte la nullité), puis remplacer l'exponentielle par sa valeur en 1.
On a donc envie de se debarasser de ce $x^{n}$ pour mieux l'exploiter. Je pensais que, même sans l'heuristique, c'était ton but, rien que pour avoir une seule apparition de la variable muette. Mais comme tu vois, ton changement de variable n'aboutit pas à ça (bien qu'on puisse quand même s'en sortir avec, mais c'est moins joli et ça ne reflète pas un choix motivé).
$u=x^{n+1}$ donc $du=(n+1)x^n dx$. Ainsi $\boxed{I=\dfrac{1}{n+1} \displaystyle\int_{0}^1 \exp(1- u^{1 / (n+1)}) du}$
Je ne comprends pas l'intérêt de la transformation avec l'exponentielle $e^y = (e^y -1)+1$.
Je ne trouve pas de primitive de $u \mapsto \dfrac{1}{n+1} \exp(1- u^{1 / (n+1)})$.
À part ça, $e^{y} - 1$ devrait évoquer quelque chose instantanément à tout matheux.