Oral X-ENS équivalent
Bonjour
Oral X-ESPCI PC 2022 : c'est le deuxième exercice donné au candidat, le premier a l'air infaisable sur les parties isométriques.
Pour tout réel $x$, on note $\{x \} = x -\lfloor x \rfloor $.
Or $n! e - 1 < \lfloor n! e \rfloor \leq n! e$ donc $- n! e \leq - \lfloor n! e \rfloor < 1 - n! e $
Donc $ \boxed{0 \leq \{ n! e \} < 1 }$
PS : j'ai effacé la suite qui était fausse.
Oral X-ESPCI PC 2022 : c'est le deuxième exercice donné au candidat, le premier a l'air infaisable sur les parties isométriques.
Pour tout réel $x$, on note $\{x \} = x -\lfloor x \rfloor $.
Trouver un équivalent de $\{ n! e \}$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
J'aimerais savoir si ma solution est correcte. Ayant trouvé l'exercice en 15 minutes j'ai des doutes, car c'est niveau X quand même.
On a $\{ n! e \} = n! e -\lfloor n! e \rfloor $Or $n! e - 1 < \lfloor n! e \rfloor \leq n! e$ donc $- n! e \leq - \lfloor n! e \rfloor < 1 - n! e $
Donc $ \boxed{0 \leq \{ n! e \} < 1 }$
PS : j'ai effacé la suite qui était fausse.
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Réponses
Tu as montré qu'une partie décimale est comprise entre $0$ et $1$, bravo !!! Tu peux écrire un article !!
Cordialement,
Rescassol
Quel lien pourrait-il bien y avoir entre le nombre $e$ et des factorielles ...
Et le produit par $e$ ne simplifie pas vraiment l'expression pour la rendre plus maniable de toute manière.
(Comment écrire la partie fractionnaire en LaTex ?)
si $u_n = n! e - \left[ n! e \right] $ , $u_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots $ (á partir d'un certain rang) donc $n u_n$ tend vers $1$.
$R_n - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + ... < \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + ... = \frac{1}{n+1}$
Ensuite tu montres aussi facilement que $(n+1)R_n - 1$ tend vers 0 un peu de la même manière
$1 + \frac{1}{n + 2} + ... \leq \sum_k \frac{1}{n^k} = \frac{n}{n - 1}$
On trouve bien du $\frac{1}{n}$.
Une erreur dans mon message précédent due au fait que je ne connaisse TOUJOURS PAS mon Taylor reste intégral...
On a $e=\displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k!}$
Donc $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!} + R_n $
Or $\forall (x,y) \in \R^2 \ \ \lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$
Pour tout $k \geq n+1$, on a $ k! \geq n!$ donc $0 \leq \dfrac{k!}{n!} \leq 1$ donc $\lfloor \dfrac{k!}{n!} \rfloor=0$
Donc $\boxed{\lfloor n! e \rfloor = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \lfloor \dfrac{n!}{k!} \rfloor }$
Donc $\boxed{ \{ n! e \} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!} + R_n - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \lfloor \dfrac{n!}{k!} \rfloor }$
A partir d'ici je bloque.
Peux tu démontrer cette assertion?
Or $\forall (x,y) \in \R^2 \ \ \lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$
Allez, arrête de te moquer du monde, démissionne et va planter des patates sérieux. C'est en primaire qu'on apprend qu'on apprend à poser des additions, à comprendre le principe des retenus qui font que 1,5+1,5, ça ne va pas faire 2 virgule quelque chose et qu'il ne suffit pas d'additionner les chiffres de même rang. Ecrire cette daube sur un exo X-ENS, c'est encore une fois de foutre complètement de la gueule du monde.
J'ai assez manipulé les parties entières pour ne pas avoir de difficultés avec celles-ci.
Je me suis embrouillé avec wikipédia
Vous donnez des solutions sans rien expliquer, la partie entière est passée où ? Vous n'expliquez pas comment vous la faites disparaître.
Formule de Taylor avec reste intégral.
Soit $e^b= e^a+ \displaystyle\sum_{k=1}^n e^a \dfrac{ (b-a)^k}{k!} + \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{ (b-t)^n}{n!} e^t dt$
Je ne vois pas le rapport entre l'exercice et la formule de Taylor avec reste intégral.
Tu ne comprends pas, parce que tu n'as pas du tout le niveau.
Quand tu auras la réponse ultra détaillée sous les yeux, tu vas la comprendre (reste à définir ce mot), mais tu seras totalement incapable de la reproduire.