Pourquoi fait-il frais dans une cave ?
Bonjour,
je voudrais une modélisation la plus simple possible du problème de la température dans une cave (et comprendre pourquoi dans certains cas, la température y est constante, été comme hiver). Je me disais qu’on peut considérer le problème de l’équation de la chaleur sur une demi-droite : le sol est l’origine de la demi-droite et on imagine que la demi-droite s’enfonce dans le sol.
La condition au bord prescrit la température à l’origine (le soleil chauffe le sol, beaucoup en été, peu en hiver) et on s’intéresse à comment la chaleur se propage le long de la demi-droite.
J’ai un peu essayé mais n’y suis pas vraiment arrivé : la méthode que je connais marche quand la condition porte sur l’origine des temps, et pas sur l’origine de l’espace. Faut-il remplacer Fourier par Laplace ? Changer de problème à étudier ?
Merci !
je voudrais une modélisation la plus simple possible du problème de la température dans une cave (et comprendre pourquoi dans certains cas, la température y est constante, été comme hiver). Je me disais qu’on peut considérer le problème de l’équation de la chaleur sur une demi-droite : le sol est l’origine de la demi-droite et on imagine que la demi-droite s’enfonce dans le sol.
La condition au bord prescrit la température à l’origine (le soleil chauffe le sol, beaucoup en été, peu en hiver) et on s’intéresse à comment la chaleur se propage le long de la demi-droite.
J’ai un peu essayé mais n’y suis pas vraiment arrivé : la méthode que je connais marche quand la condition porte sur l’origine des temps, et pas sur l’origine de l’espace. Faut-il remplacer Fourier par Laplace ? Changer de problème à étudier ?
Merci !
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Réponses
0,2* (moyenne sur 40 jours des moyennes journalières) + 0,8 * (moyenne sur 50 jours des moyennes journalières)
la moyenne sur 50 jours est censée correspondre à la terre "profonde", et celle à 40 jours à la terre "supérieure".
Mais je suis preneur d'une formule moins empirique !
La température de la terre de la cave, est ce qui exerce la plus forte influence sur la température de l'air de la cave (ça, ce n'est pas empirique, je l'ai modélisé).
Bien sûr, je m'en excuse, pour la terre, ce n'est pas un raisonnement scientifique, juste de la cuisine. Le pb est fascinant : j'ai lu qu'en creusant suffisamment profond, et avec des appareils de mesure hyper sensibles, on est capable de retrouver la trace de l'onde thermique de la dernière glaciation !
Dans un milieu donné, le temps que met la chaleur pour être transportée par conduction thermique sur une distance $\ell$ est de l'ordre de $\tau=\ell^2/D$, avec $D$ la diffusivité thermique $D$ du milieu. Preuve à la physicienne : la dimension de $D$ est une longueur au carré divisée par un temps . Or $D = \frac{\lambda}{\rho c_P}$ avec :
- $\lambda$ la conductivité thermique, égale à $0{,}75\,\mathrm{ W.m^{-1}.K^{-1}}$ pour la terre crue d'après https://fr.wikipedia.org/wiki/Terre_crue,
- $\rho$ la masse volumique, égale à $2000\,\mathrm{ kg.m^{-3}}$ pour la terre crue,
- et $c_P$ la capacité thermique massique, égale à $900\,\mathrm{J.kg^{-1}.K^{-1}}$ pour la terre crue.
Ce sont des valeurs approximatives car elles peuvent dépendre de si la terre est plus ou moins compacté, mais ça donne $D\approx 5\cdot 10^{-7}\mathrm{m^2.s^{-1}}$. Donc pour $\ell = 50\,\mathrm{cm}$, on a $\tau \approx 7 \text{ jours}$. Et pour $\ell = 1\,\mathrm{m}$, on a $\tau \approx 28 \text{ jours}$.Bon, je m'attendais à avoir un peu plus. Avec ces valeurs, on n'a pas l'impression que la température sera constante. Ou peut-être que ça n'est pas la bonne modélisation.
Edit : en fait, cette façon de faire se rapproche de la mienne puisque mon $\tau=\ell^2/D$ équivaut à $\ell = \sqrt{D\tau}$, qui n'est pas loin de $\sqrt{2D/\omega}$ avec $\omega :=\pi/\tau$ (si $\tau$ représente la durée d'un demi cycle).
Mais est-ce suffisant pour gagner un degré ?
J’imagine aussi que le congélo ne consomme pas davantage, si ? Beaucoup plus ? On parle ici d’un gros congélateur « Pro » (sorte de buffet froid mais rien à voir avec le film 🤣).
édit : j’ai mélangé les deux discussions (cave fraîche et canicule).
Mais sinon oui un congélateur peut dégager beaucoup de chaleur (et pour faire des maths c'est pas l'idéal).
@PetitLutinMalicieux : rien compris, sauf si c’est de l’humour !
@urmk : je veux juste m’amuser à résoudre une équation un peu motivée
@gerard0 : oui, oui, je veux juste voir tout ça apparaître à la fin d’un calcul !
@raoul.S : merci, je regarde ça.
@Calli : merci pour ces données, ça devrait me servir à la fin. En tout cas j’avais le souvenir d’une histoire de deux mètres !
@JLT : merci !
@Soc : merci mais pas assez de maths
@Sato : si tu as une référence précise… Je n’ai jamais ouvert de tel bouquin !
En fait la température journalière n’est pas en toute rigueur une sinusoïde. On peut cependant l’approximer par une sinusoïde (c'est ce que je fais dans mon modèle) en raccordant des morceaux de sinusoïde obtenus à partir des températures MIN et MAX de la journée, et des heures de lever et de coucher du soleil (qui varient dans l'année, selon le point géographique considéré
Cette pseudo-sinusoïde de température, pour un jour donné, est donc en fait composée de trois morceaux :
le premier morceau vient du Max du jour précédent pour arriver jusqu’au Min du jour
le second morceau monte du Min du jour au Max du jour
le troisième morceau amorce la descente vers le Min du jour suivant
Une théorie empirique dit en outre que :
- le minimum de la journée est atteint environ une heure après le lever du soleil
- le maximum est lui atteint environ deux heures après que le soleil soit passé au zénith (mais attention : heure solaire, et pas heure légale!).
(on remarquera que les morceaux de sinusoïde se réfèrent à des périodes distinctes, et en plus variables dans le temps (par suite de la variation des heures de lever et coucher du soleil)
La solution analytique proposée dans les différents messages précédents suppose le choix d’un omega particulier, alors qu’en toute rigueur, la température extérieure s'exprime comme une série de Fourier qui en fait intervenir une infinité, sauf erreur.
Du point de vue pratique, l’omega correspondant à une période annuelle est je pense celui qui est prépondérant (chacun peut constater que les changements de température dans une cave dépendent plus de la saison que de l’heure dans la journée (même dans mon cas, où la cave est aussi un garage, fermé par une porte qui n'est pas spécialement bien isolante du point de vue thermique : c'est en effet la terre qui régule ce qui se passe)
Mon modèle (avec la loi empirique sur la température de la terre), prédit très correctement la température de ma cave , qui varie entre 14 et 22° dans l'année (je prends en compte les échanges thermique avec le plafond de la cave, la porte de la cave, etc ...). Les variations diurnes sont négligeables.(si quelqu'un s'intéresse à mon modèle, il peut m'envoyer un message privé avec son adresse et je lui enverrai (c'est sous Excel avec Macros)) (mais c'est évidemment propre à la géométrie de ma maison, et le fruit d'un nombre incalculable d'heures de travail, donc pas forcément simple à assimiler ...)
Résumé : le mec suppose (enfin blablate) qu’à profondeur fixée, la période temporelle de variation de température est la même qu’en surface et en déduit que l’amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur et que la phase se décale le long de la profondeur.
Il me manque à comprendre pourquoi il dit que la période est constante (ça aurait pu ralentir ? du genre la cave alterne entre chaud et froid tous les dix ans, alors que la périodicité du soleil est annuelle ?).
Mais super !
Du coup, si $u(t, 0) = u_0 e^{i \omega t}$, on a $f(0) g(t) = u_0 e^{i \omega t}$ donc $K = i \omega$ et tu en déduis l'épaisseur de peau et tout le reste...
Ton problème n'est pas bien posé. Tu donnes l'équation $\partial_t u - \Delta u = 0$ ainsi qu'un forçage au niveau du bord $u(\cdot , 0) = h(\cdot)$ mais il manque une condition initiale du type $u(0,\cdot) = u_0$, sans quoi il n'y a pas unicité de la solution. N'importe quelle condition initiale $u_0$ donnera une solution à ton équation et si $u_0$ n'est pas une sinusoïde amortie bien comme il faut ta solution n'aura pas la forme $(x,t) \mapsto f(x) e^{i\omega t}$.
@Renart : est-ce que l’expression « bien posé » a un sens formel ? Où puis-je apprendre la théorie générale de ce que tu racontes ?
Pour @Renart, on peut prouver que les autres conditions initiales différentes de $u(0, .) = u_0$ donnent un problème mal posé ? Par exemple, si on rajoute une condition pour $x = \infty$ (du type $\lim_{x \to \infty} u(.,x) = u_{\infty}$), ça ne résout pas le problème ?
J'ai parlé de Hille-Yosida parce que c'est un résultat très général qui permet de démontrer l'existence et unicité de solutions de tout un tas de problèmes d'évolution. Comme indiqué par Bibix une bonne référence sur ce sujet est Analyse fonctionnelle écrit par H. Brezis. Ceci étant dit il existe probablement des moyens plus élémentaires d'arriver à un résultat à peu près aussi satisfaisant, les mathématiciens n'ont pas attendu 1948 (année de découverte du théorème de H-Y) pour étudier l'équation de la chaleur 🙃
Il y a des résolutions plus élémentaires de l'équation de la chaleur sur $\R^n$ en utilisant ce qu'on appelle le noyau de la chaleur, c'est le même principe que les fonctions de Green. En bidouillant un peu on doit pouvoir (encore une fois, je n'ai pas essayé) adapter le problème de GA à ce cadre : on pose $v = u-h$ ce qui transforme le forçage au bord en un second membre puis on symétrise $v$ pour avoir une fonction définie sur $\R$, solution d'une certaine équation de la chaleur. On obtient alors des formules intégrales des solutions de cette équation. Pour une référence tu peux regarder les sections 2.3.1 et 2.3.2 du Partial differential equations de L. Evans. Mais on devrait retrouver ces résultats dans la plupart des livres d'introduction aux EDP un peu sérieux.