En règle générale, les énoncés de probabilité sont ceux qui contiennent le plus d’implicites.
Je m’en désole souvent… et en même temps on pourrait demander aux candidats de bien décrire leurs modèles afin d’attribuer les points même si l’auteur a voulu « dire autrement ».
Mais dans le secondaire j’estime que c’est trop tôt.
Ce ’’indiscernable au toucher’’ met le bazar il me semble. On peut éventuellement penser que si on prend le soin de préciser ’’au toucher’’ cela voudrait dire qu’il est possible de les distinguer autrement (par une numérotation par exemple). D’un autre côté si l’énoncé était ’’une urne contient 7 boules, 5 noires et deux rouges, indiscernables’’ on ne verrait pas forcément la différence entre les couleurs... Même un énoncé comme ’’une urne contient 7 boules, 5 rouges (indiscernables) et 2 noires (indiscernables)’’ pose problème. Si on suit la deuxième interprétation de verdurin on pourrait peut-être avoir un énoncé du style: ’’une urne contient 7 boules indiscernables (excepté pour les couleurs), 5 rouges et 2 noires’’.
NON !!!!!!!!!!!!! OShine. Dès qu'il y a une erreur possible, tu te débrouilles pour la faire, c'est un don ! Si tu divises $7!$ (question 1) par $7!$ comme tu les suggères, tu trouves combien ?
L'histoire des boules indiscernables au toucher, je crois que c'est systématique dans les exercices avec des boules dans une urne. La personne qui tire les boules ne peut pas truquer, il ne peut pas choisir telle boule, car elles sont indiscernables.
Cet exercice est le n°2 d'une longue série. Du coup, je considére que l'interprétation attendue est celle qui mène aux calculs les plus simples.
Pour la question 4, je pense que le corrigé attendait : 'on a trouvé ... en question 2, et ... en question 3. Par différence, on trouve donc ... en question 4.'
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Merci @raoul.S 44 exercices, ça va être long ! @verdurin Je serais tombé le panneau. Ca me semblait évident qu'il fallait considérer uniquement la suite de couleurs et que dire qu'il y a 7! tirages possibles était l'erreur n°1 à éviter que je n'aurais pas mis plus de la moitié des points (si les calculs sont corrects). A bien y réfléchir c'est peut-être un exercice "piège" pour inciter les élèves à bien considérer chaque mot de l'énoncé. Je ne suis pas fan de ce genre d'exercice, surtout en DST. C'est un peu comme les QCM où les distracteurs sont tellement convaincants que ceux qui ont bossé se plante et ceux qui n'ont pas bien compris (ça se voit au reste du DST) passe complétement à côté du distracteur et réponde juste.
Avant de passer à l'exo $3$, je n'ai pas compris quand on numérote les boules ce qui se passe.
Depuis le début je ne comprends rien quand on parle d'ordonner les éléments.
Si je prends l'ensemble $\{N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2 \}$. Alors le nombre de tirages est bien le nombres de $n$ uplets non ? Le cours dit que c'est aussi le nombre d'arrangements.
Donc c'est $7!$ non ?
Je ne comprends pas ce qui change dans les autres questions.
@OShine En fait l'énoncé est ambigu. Il y a deux interprétations possibles :
1) la première on va dire que c'est la tienne. Par exemple un tirage avec tes notations serait $(N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$. Un autre tirage différent serait $(N_2,N_1,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$. Ici le numéro des boules a une importance.
2) la deuxième ne tient pas compte du numéro des boules. Donc pour la deuxième interprétation le tirage $(N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$ est le même que le tirage $(N_2,N_1,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$ car on va dire que tout ce qui compte est que les 5 premières boules tirées sont noires et les deux dernières sont rouges (on s'en fiche du numéro des boules seul l'ordre des couleurs compte).
Toi tu as résolu l'exercice correctement en l'interprétant de la première façon. Mais probablement que c'est la deuxième façon qui est la bonne (en tout cas c'est mon avis)
Pour la question 1 : regarde le dernier message de raoul.S.
Il te dit que dans cette interprétation, on se fiche complètement de la
numérotation des boules. Du coup, un tirage $(N_2, R_2, N_4, N_5, R_1,
N_1, N_3)$ n'est plus qu'un tirage $(N,R,N,N,R,N,N)$. Ce que ça veut
dire, et c'est ça le point essentiel, c'est que tu peux permuter
les boules noires entre elles et les boules rouges entre elles, et ça
sera considéré comme le même tirage. Je te donne la solution pour mon
tirage $(N,R,N,N,R,N,N)$ : il y a $2!$ façons de permuter les $2$ boules
rouges entre elles, et $5!$ façons de permuter les boules noires entre
elles. Tu sais qu'il y a $7!$ tirages possibles au total (qui, eux,
tiennent compte de la numérotation des boules), mais il faut donc
diviser $7!$ par $2!5!$ pour obtenir le nombre de tirages "une noire,
une rouge, deux noires, une rouge, deux noires". Pourquoi ? Parce que
chaque permutation des boules rouges entre elles/noires entre elles,
après "effacement" des numéros sur les boules, ça redonne le même
tirage. Au passage, $\dfrac{7!}{2!5!}$ moi ça me rappelle un truc...
Explication : un tirage, c'est un $7$-uplet. On tient compte de l'apparition des couleurs, mais pas d'un éventuel numéro individuel sur chaque boule. Partons
d'un $7$-uplet vide $(-,-,-,-,-,-,-)$. L'idée est la suivante : tu
prends tes $2$ boules rouges, et tu choisis leur emplacement dans le
$7$-uplet vide. C'est exactement le même concept que "tu choisis combien
d'espaces tu mets avant la première boule rouge, entre les deux boules
rouges, et après la deuxième boule rouge" dont on t'avait déjà parlé
récemment (dans le fil de probas, j'imagine, flemme de chercher). Tu as
$\displaystyle \binom{7}{2}$ façons de placer les 2 boules rouges parmi les 7
emplacements. Ensuite, plus qu'un seul choix : chaque emplacement
restant doit recevoir une boule noire. Si tu fais les choses dans
l'autre sens, et que tu commences par placer les 5 boules noires dans
les 7 emplacements, ça donne $\displaystyle \binom{7}{5}$ possibilités de placer les
boules noires, puis une seule possibilité (placer les 2 boules rouges
dans les 2 emplacements restants). On a de la chance, $\displaystyle \binom{7}{2} = \binom{7}{5}$ et on a bien une solution unique.
Je
te redonne une explication imagée de mon premier paragraphe. Un éleveur
veut vendre les oeufs de ses poules. Il a des boîtes de 12 oeufs, 10
oeufs bruns et 2 oeufs blancs. Chacun de ces oeufs possède une
impression dessus qui permet de différencier chaque oeuf (date de ponte,
date de péremption, type élevage en plein air/industriel etc) mais il
n'en tient pas compte. Combien de façons de ranger ses 12 oeufs dans la
boîte "à l'apparence près" ? Tu vois bien qu'on s'en fiche si dans le
coin de la boîte, il met l'oeuf blanc pondu le 30 juillet ou celui pondu
le 1er août, la boîte aura la même tronche une fois assemblée. Il a 2
façons de mettre un oeuf blanc dans le coin avant gauche de la boite et
un oeuf blanc dans le coin avant droit : soit c'est l'oeuf du 30 juillet
à gauche et l'autre à droite, soit c'est le contraire. Mais les deux
donnent la même apparence à la boîte : 2 façons "dans l'absolu", mais 1
seule façon "à l'apparence près".
Tu devrais avoir des munitions pour refaire l'exercice 2 avec la deuxième interprétation de raoul.S.
@Verdurin, @Lol_a Regardez les exercice n°3, n°4, n°6. Ils sont simplistes. L'énoncé de l'exercice 2 est ambigu, c'est vrai. Comme pour l'exercice 1. L'une des interprétations mène à des calculs simplistes, l'autre interprétation mène à des calculs un petit peu plus compliqué. Ici, je pense que la bonne interprétation est celle qui demande des calculs simplistes.
Mais ici, un étudiant 'autonome' (un type qui est déjà prof par exemple) prendrait les choses en main : Il y a 2 interprétations possibles. Il est probable que l'auteur de l'exercice attendait telle interprétation, mais ce n'est pas certain. La première interprétation conduit à tels et tels calculs, la 2ème interprétation conduit à tels et tels calculs.
Et au lieu de passer 2 minutes sur l'exercice puis des heures à se poser 1000 questions, on passe 5minutes, et tout est réglé.
L'exercice 3 : Trop difficile pour OShine. Je pense que le fils de Bisam qui a 11 ou 12 ans saurait le faire, mais je ne suis pas surpris que OShine ne sache pas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Comme l'a dit nicolas.patrois les exercices de dénombrements de terminale sont souvent casse-gueule et on en a encore la preuve ici. L'important est d'expliquer notre interprétation pour justifier les calculs et non pas balancer une réponse uniquement avec des calculs. Personnellement, si je devais sortir d'une grotte je serais plutôt partant "logiquement" pour la version 2) de raoul.S mais avec l'expérience ou l'habitude je vais directement sur la version simple 1).
On n'a toujours pas la solution donnée par l'auteur mais je suis prêt à parier qu'il s'agit de la version 1) avec malheureusement aucune justification ce qui peut laisser à penser qu'il n'y a aucun doute possible sur l'interprétation de l'énoncé.
@lourran Effectivement le 4 est simple et c'est celui-ci que j'aurais choisi plutôt que le 1 comme premier exercice sur la notion de n-uplets. Je ne pense pas que les exercices soient triées par ordre de difficultés croissantes, il n'y a qu'à regarder les derniers exercices pour s'en convaincre. Le 40 est du plus ou moins du même niveau que la question 1 du 4, le 43 c'est le genre d'exercice que je peux donner en premier exercice d'un contrôle pour essayer de donner au moins 4 points à tout élève qui aurait un peu suivi, on parle des anagrammes dans les exercices 10 et 36, etc. J'ai l'impression que le créateur de la fiche a simplement agrégé tous les exercices qu'il a trouvé sur le sujet sans trop chercher à les modifier, à les trier ou à les classer. Enfin, si quelqu'un à sa version du corrigé ça m'intéresserait. Pour moi, il ne faut s'intéresser qu'aux couleurs car si l'auteur de l'exercice aurait voulu qu'on distingue deux boules de la même couleur alors il aurait pris le soin de les numéroter.
@OShine Ne te laisse pas impressionner par la notation T(n,p). L'exercice 3 est très facile. Il n'y a même pas besoin du cours. D'ailleurs, il pourrait être donné en collège comme énigme en bonus d'un contrôle par exemple. La question 1 pourrait tout à fait être donnée en primaire, il n'y a aucun calcul, juste un peu de réflexion (d'ailleurs pour n et p assez petits, un bon élève de fin de primaire devrait pouvoir s'en sortir). Au pire, dessine les wagons et prend des feutres, mais vraiment cet exercice est plutôt simple et en plus les questions sont très détaillées. Si tu essayes tu devrais t'en sortir sans problème.
Je voulais un peu revenir sur ces histoires de dénombrement des $n$-uplets, arrangements, permutations, combinaisons.
La base de tout ça au départ, c'est quoi ?
Pour des ensembles $E$ et $F$ finis, $card(E \times F)=card(E) \times card(F)$
Ensuite un peu de cerveau est amplement suffisant pour résoudre tous ces exercices, plus cette formule là de base : Si $E$, $F$ sont finis et disjoints, $card (E \cup F)=card(E)+card(F)$.
Il n'y avait vraiment pas besoin de plus pour l'exercice 1. Vu comment cet exercice a été résolu, il ne faut surtout pas chercher à aller plus loin, ça ne sert à rien. Ces résolutions se résument à des incantations de formules qui ne sont de toute évidence pas comprises.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
Personnellement, si je devais sortir d'une grotte je serais plutôt partant "logiquement" pour la version 2) de raoul.S mais avec l'expérience ou l'habitude je vais directement sur la version simple 1).
C'était une façon tordue de me traiter d'homme des cavernes... ?
2) La première boule tirée est rouge. On a donc $(R, \cdots )$. On a prend une rouge parmi les deux et ensuite une rouge parmi les 6 boules restantes. Il me semble que c'est des combinaisons, mais elles ne tiennent pas compte de l'ordre
Il y a donc $ \binom{2}{1} \times \binom{6}{5} = 2 \times 6 =12$.
C'est peut-être ça mais dans mon raisonnement je n'ai pas compris c'est où que j'ai utilisé l'ordre pour dire que la première boule est rouge.
C'était une façon tordue de me traiter d'homme des cavernes... ?
Non je t'assure! C'était juste une manière de dire que l'habitude de certains "implicites" empêchait parfois de se poser des questions sur l'ambiguïté de certains énoncés.
@Oshine je te conseille d'essayer de faire les exercices 40, 43 et 41 sans utiliser aucune formule du cours. Tu as cherché l'exercice 3 ? Vraiment si tu as bien compris ce chapitre l'exercice se fait tout seul (d'autant qu'il est vraiment très guidé), je t'encourage vivement à ne pas faire l'impasse dessus.
Dans une combinaison l'ordre ne compte pas. D'ailleurs on a : $\binom n k = \frac{A^k_n}{k!}$ (pourquoi ?)
Q4 : la première boule noire est en troisième position donc les deux premières sont rouges. Or il n'y a que deux boules rouges. Quels sont les tirages possibles ?
@OShine Je te conseille d'écrire de la même façon que RaoulS ce que tu trouves pour la question 4, cela devrait être assez éclairant...
Q2: Il reste 5 noires et une rouge, on choisit la place de la rouge. 6 possibilités. Q3: Il reste 4 noires et une rouge, on choisit la place de la rouge. 5 possibilités. Q4: Il reste...
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
Tu as 2 boules rouges et 5 noires. Si la première boule tirée est rouge, ton $7$-uplet a la tronche $(R,-,-,-,-,-,-)$. De combien de façons peux-tu compléter ce $7$-uplet ?
En un sens je crois que le plus simple est d'écrire tous les tirages possibles dans l'ordre alphabétique, puis de répondre aux questions en comptant les cas favorables.
J'ai fais faire ça une fois à une classe de terminale ST2S et, à ma grande surprise, elles ont trouvé ça intéressant et elles ont compris un certain nombre de choses.
@zeitnot moi je ne vois pas de cardinal d'ensemble dans les exercices. Pourtant je connais par coeur les formules que tu cites depuis des années.
Pourtant les formules que tu utilises découlent exactement de ça. Une fois que tu auras fait quelques exos de dénombrement ça serait bien que tu essaies de voir un peu le lien, un peu comme si c'était toi qui faisait le cours. Ça peut aider à prendre du recul.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
@OShine je pars du principe que c'est un peu perdu d'avance de te dire ça, mais au moins on te l'aura dit, et tu n'auras pas cette excuse. C'est inutile d'apprendre par coeur des formules que tu ne comprends pas, et de vouloir apprendre par coeur quelle formule utiliser dans quel contexte. On est plein ici à ne pas vraiment avoir appris la combinatoire "formule par formule, contexte par contexte" et à retrouver à chaque fois quelle est la bonne formule dans un nouvel exo*. Il est beaucoup plus efficace de comprendre d'où sort la formule pour comprendre quelle formule est adaptée dans un exercice précis.
*demande à @lourrran : c'est l'un des champions locaux du "je ne retiens aucune formule par coeur, seulement le cheminement de pensée avant la formule, la formule tombe toute seule à la fin du raisonnement". Il te dit ça tout le temps, et il a raison. La plupart du temps, tout ce qu'on fait c'est comme quand on était petits : on essaie sur un exemple simple (petit cardinal/petite dimension) et on dégage le principe de cette petite étude-là. Et nous, tes exos, avec ça on les résout seuls et rapidement. Il y a parfois du mérite à écouter les conseils...
Sans compter que les formules pour répondre aux exercices ne se trouvent pas forcément telles quelles dans le cours. Vouloir apprendre par coeur toutes les formules qui peuvent tomber en exercice c'est comme vouloir apprendre une langue en apprenant par coeur toutes les phrases qu'on peut composer dans cette langue.
1) Il y a deux possibilité. La première couleur en premier, ou la seconde. 2) $p$ possibilités. 3) $p-1$. 4) $p-1$. 5) $p-1$ 6) $\boxed{T(n,p)= p(p-1)^n}$
@OShine si tu ne me donnes pas une valeur plus simple de $\displaystyle \binom{6}{1}$, je te retire la moitié des points. Le fait que tu ne le fasses pas de toi-même est déjà lamentable, mais ça, on sait que ça ne te dérange pas.
EDIT : quant à ta réponse à la dernière question de l'exercice 2, je pense que certains intervenants vont saigner des yeux.
@verdurin je n'ai pas trop compris pourquoi tu veux faire les tirages dans l'ordre alphabétique.
Tu poses la même question que mes terminales. La raison est simple : comment savoir que l'on a bien vu tous les cas possibles ? La seule façon élémentaire est de mettre un ordre sur les résultats.
J’espère que tu réussiras à obtenir le même niveau qu'une élève moyenne de ST2S.
@verdurin je n'ai pas trop compris pourquoi tu veux faire les tirages dans l'ordre alphabétique.
Tu poses la même question que mes terminales. La raison est simple : comment savoir que l'on a bien vu tous les cas possibles ? La seule façon élémentaire est de mettre un ordre sur les résultats.
J’espère que tu réussiras à obtenir le même niveau qu'une élève moyenne de ST2S.
Je n'ai pas compris l'intérêt de l'ordre alphabétique dans ce cas. Si on prend une $R$ en premier, et des $N$ ensuite, l'ordre alphabétique est changé, ça sert à quoi ?
Je comprends mieux les anneaux quotients et les groupes quotients que le dénombrement de ST2S.
Oui, mea culpa. Avec nos histoires de numérotation/pas de numérotation, j'ai oublié que dans le sujet de départ, les boules ne sont pas numérotées
Dans le contexte de boules numérotées, le nombre de tirages où $N_1$ arriverait en troisième position est évidemment plus grand que 1. Mais ce n'était pas la question. Je fatigue...
Exercice $4$ : (après je fais une pause et je sors faire un tour)
1) $3^4=81$. 2) Nombres de cas favorables d'avoir un corsage vert : $3^3 \times 1$. Donc $P=\dfrac{3^3}{3^4}=\dfrac{1}{3}$.
Exercice $5$ : 1) $\binom{35}{7}=6 724 520$ (c'est énorme !) 2) $1$ groupe pour la catégorie $1$ et $\binom{9}{7}=36$ groupes pour la catégorie $3$. 3) Pas sûr de moi, cette question me semble plus délicate. $\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{23}{2} = 35 \times 10 \times 253 = 350 \times 253 = 88 550$.
Réponses
Je commence à faire trop de suppositions ?
Même un énoncé comme ’’une urne contient 7 boules, 5 rouges (indiscernables) et 2 noires (indiscernables)’’ pose problème.
Si on suit la deuxième interprétation de verdurin on pourrait peut-être avoir un énoncé du style: ’’une urne contient 7 boules indiscernables (excepté pour les couleurs), 5 rouges et 2 noires’’.
Il suffit de multiplier les résultats par le nombre de permutation $7!$ non ?
Si tu divises $7!$ (question 1) par $7!$ comme tu les suggères, tu trouves combien ?
L'histoire des boules indiscernables au toucher, je crois que c'est systématique dans les exercices avec des boules dans une urne. La personne qui tire les boules ne peut pas truquer, il ne peut pas choisir telle boule, car elles sont indiscernables.
Cet exercice est le n°2 d'une longue série. Du coup, je considére que l'interprétation attendue est celle qui mène aux calculs les plus simples.
Pour la question 4, je pense que le corrigé attendait : 'on a trouvé ... en question 2, et ... en question 3. Par différence, on trouve donc ... en question 4.'
@Lol_a, il faut être abonné pour voir le corrigé.
44 exercices, ça va être long !
@verdurin Je serais tombé le panneau. Ca me semblait évident qu'il fallait considérer uniquement la suite de couleurs et que dire qu'il y a 7! tirages possibles était l'erreur n°1 à éviter que je n'aurais pas mis plus de la moitié des points (si les calculs sont corrects).
A bien y réfléchir c'est peut-être un exercice "piège" pour inciter les élèves à bien considérer chaque mot de l'énoncé. Je ne suis pas fan de ce genre d'exercice, surtout en DST. C'est un peu comme les QCM où les distracteurs sont tellement convaincants que ceux qui ont bossé se plante et ceux qui n'ont pas bien compris (ça se voit au reste du DST) passe complétement à côté du distracteur et réponde juste.
Avant de passer à l'exo $3$, je n'ai pas compris quand on numérote les boules ce qui se passe.
Depuis le début je ne comprends rien quand on parle d'ordonner les éléments.
Si je prends l'ensemble $\{N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2 \}$. Alors le nombre de tirages est bien le nombres de $n$ uplets non ? Le cours dit que c'est aussi le nombre d'arrangements.
Donc c'est $7!$ non ?
Je ne comprends pas ce qui change dans les autres questions.
1) la première on va dire que c'est la tienne. Par exemple un tirage avec tes notations serait $(N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$. Un autre tirage différent serait $(N_2,N_1,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$. Ici le numéro des boules a une importance.
2) la deuxième ne tient pas compte du numéro des boules. Donc pour la deuxième interprétation le tirage $(N_1,N_2,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$ est le même que le tirage $(N_2,N_1,N_3, N_4,N_5,R_1,R_2)$ car on va dire que tout ce qui compte est que les 5 premières boules tirées sont noires et les deux dernières sont rouges (on s'en fiche du numéro des boules seul l'ordre des couleurs compte).
Toi tu as résolu l'exercice correctement en l'interprétant de la première façon. Mais probablement que c'est la deuxième façon qui est la bonne (en tout cas c'est mon avis)
@lourrran $7! /7! =1$ c'est faux.
Avec la deuxième configuration je ne trouve pas la première question. Je n'arrive à faire aucune question dans ce cas.
Regardez les exercice n°3, n°4, n°6. Ils sont simplistes. L'énoncé de l'exercice 2 est ambigu, c'est vrai. Comme pour l'exercice 1. L'une des interprétations mène à des calculs simplistes, l'autre interprétation mène à des calculs un petit peu plus compliqué.
Ici, je pense que la bonne interprétation est celle qui demande des calculs simplistes.
Mais ici, un étudiant 'autonome' (un type qui est déjà prof par exemple) prendrait les choses en main : Il y a 2 interprétations possibles. Il est probable que l'auteur de l'exercice attendait telle interprétation, mais ce n'est pas certain.
La première interprétation conduit à tels et tels calculs, la 2ème interprétation conduit à tels et tels calculs.
Et au lieu de passer 2 minutes sur l'exercice puis des heures à se poser 1000 questions, on passe 5minutes, et tout est réglé.
L'exercice 3 : Trop difficile pour OShine.
Je pense que le fils de Bisam qui a 11 ou 12 ans saurait le faire, mais je ne suis pas surpris que OShine ne sache pas.
Effectivement le 4 est simple et c'est celui-ci que j'aurais choisi plutôt que le 1 comme premier exercice sur la notion de n-uplets.
Je ne pense pas que les exercices soient triées par ordre de difficultés croissantes, il n'y a qu'à regarder les derniers exercices pour s'en convaincre. Le 40 est du plus ou moins du même niveau que la question 1 du 4, le 43 c'est le genre d'exercice que je peux donner en premier exercice d'un contrôle pour essayer de donner au moins 4 points à tout élève qui aurait un peu suivi, on parle des anagrammes dans les exercices 10 et 36, etc. J'ai l'impression que le créateur de la fiche a simplement agrégé tous les exercices qu'il a trouvé sur le sujet sans trop chercher à les modifier, à les trier ou à les classer. Enfin, si quelqu'un à sa version du corrigé ça m'intéresserait.
Pour moi, il ne faut s'intéresser qu'aux couleurs car si l'auteur de l'exercice aurait voulu qu'on distingue deux boules de la même couleur alors il aurait pris le soin de les numéroter.
@OShine
Ne te laisse pas impressionner par la notation T(n,p). L'exercice 3 est très facile. Il n'y a même pas besoin du cours. D'ailleurs, il pourrait être donné en collège comme énigme en bonus d'un contrôle par exemple. La question 1 pourrait tout à fait être donnée en primaire, il n'y a aucun calcul, juste un peu de réflexion (d'ailleurs pour n et p assez petits, un bon élève de fin de primaire devrait pouvoir s'en sortir).
Au pire, dessine les wagons et prend des feutres, mais vraiment cet exercice est plutôt simple et en plus les questions sont très détaillées. Si tu essayes tu devrais t'en sortir sans problème.
2) La première boule tirée est rouge. On a donc $(R, \cdots )$. On a prend une rouge parmi les deux et ensuite une rouge parmi les 6 boules restantes.
Il me semble que c'est des combinaisons, mais elles ne tiennent pas compte de l'ordre
Il y a donc $ \binom{2}{1} \times \binom{6}{5} = 2 \times 6 =12$.
C'est peut-être ça mais dans mon raisonnement je n'ai pas compris c'est où que j'ai utilisé l'ordre pour dire que la première boule est rouge.
Si la première boule est rouge moi j'obtiens les tirages suivants :
1) R,R,N,N,N,N,N
2) R,N,R,N,N,N,N
3) R,N,N,R,N,N,N
4) R,N,N,N,R,N,N
5) R,N,N,N,N,R,N
6) R,N,N,N,N,N,R
Donc 6 tirages en tout... pourquoi tu obtiens 12 ?
Tu as cherché l'exercice 3 ? Vraiment si tu as bien compris ce chapitre l'exercice se fait tout seul (d'autant qu'il est vraiment très guidé), je t'encourage vivement à ne pas faire l'impasse dessus.
Q2) C'est $\dfrac{2 \times 6! }{ 2! 5!} = 6$
Q3) $ \dfrac{ 5 \times 2 \times 5!}{ 2! 5!} =5$
Q4) $\dfrac{2 \times 1 \times 5! }{2! 5!}= 1$ (c'est faux mais je ne comprends pas pourquoi)
Q4 : la première boule noire est en troisième position donc les deux premières sont rouges. Or il n'y a que deux boules rouges. Quels sont les tirages possibles ?
PS : en tapant "arrangement" et "combinaison" sur un moteur de recherche je suis tomber sur le lien suivant, je ne l'ai lu qu'en diagonale mais ça à l'air assez bien expliqué : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-permutations-les-arrangements-et-les-combinai-m1346
Q3: Il reste 4 noires et une rouge, on choisit la place de la rouge. 5 possibilités.
Q4: Il reste...
@Soc ok merci ça parait simple.
@Homo Topi de $\binom{6}{1}$.
Q4) $(R,R,N, N,N,N,N)$ est l'unique possibilité.
Exercice 3 :
1) Il y a deux possibilité. La première couleur en premier, ou la seconde.
2) $p$ possibilités.
3) $p-1$.
4) $p-1$.
5) $p-1$
6) $\boxed{T(n,p)= p(p-1)^n}$
Vérification : $T(n,2)=2 \times (2-1)^n=2$
Pour l'exercice $3$ la dernière question j'ai faux, car la formule ne marche pas pour $p=2$.
Je comprends mieux les anneaux quotients et les groupes quotients que le dénombrement de ST2S.
1) $3^4=81$.
2) Nombres de cas favorables d'avoir un corsage vert : $3^3 \times 1$. Donc $P=\dfrac{3^3}{3^4}=\dfrac{1}{3}$.
Exercice $5$ :
1) $\binom{35}{7}=6 724 520$ (c'est énorme !)
2) $1$ groupe pour la catégorie $1$ et $\binom{9}{7}=36$ groupes pour la catégorie $3$.
3) Pas sûr de moi, cette question me semble plus délicate.
$\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{23}{2} = 35 \times 10 \times 253 = 350 \times 253 = 88 550$.