Calcul d'intégrale
Bonjour
Je propose une intégrale numérique simple : $$\int_0^1\frac{dx}{x^5 + 1}.$$ Il convient d'en donner une formule close avec les constantes classiques.
En fait le calcul se révèle assez lourd mais je ne doute pas que sur le forum les experts patentés sauront trouver le résultat que j'ai vérifié numériquement
plus rapidement que moi.
Je donne deux indications utiles : $$\tan\frac{\pi}{10} = \sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}\qquad \text{ et }\qquad \tan\frac{3\pi}{10} = \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}.$$ Bonne recherche et bonnes vacances !
Je propose une intégrale numérique simple : $$\int_0^1\frac{dx}{x^5 + 1}.$$ Il convient d'en donner une formule close avec les constantes classiques.
En fait le calcul se révèle assez lourd mais je ne doute pas que sur le forum les experts patentés sauront trouver le résultat que j'ai vérifié numériquement
plus rapidement que moi.
Je donne deux indications utiles : $$\tan\frac{\pi}{10} = \sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}\qquad \text{ et }\qquad \tan\frac{3\pi}{10} = \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}.$$ Bonne recherche et bonnes vacances !
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Réponses
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+u^n}du$
Ça fait travailler les bases de l'analyse complexe.
En effet, en remarquant que $x^{5}+1=(x+1)\cdot (x^{2}+\frac{1}{\varphi} x+1)\cdot (x^{2}-\varphi x+1)$ où $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ désigne le nombre d'or, on cherche cinq réels $A$, $B$, $C$, $D$, et $E$, tels que : $$\frac{1}{x^{5}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx +C}{x^{2}+\frac{1}{\varphi} x+1}+\frac{Dx +E}{x^{2}-\varphi x+1}.$$Et les calculs continuent ... Malheureusement, cette méthode n'est pas demandée ici.
Ce n'est clairement pas la méthode la plus courte.
$A=\frac{1}{10} \int_{0}^{1} \frac{1-u^{1/2}}{1-u} u^{-9/10} du=\frac{1}{10}\int_{0}^{1} \frac{u^{-9/10} - u^{-2/5}}{1-u} du$
https://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.html
Jandri, je suis d'accord sur le résultat numérique que tu proposes
soit 0,8883135727...pour l'intégrale initiale
l'expression de la coth inverse pour la valeur $\frac{3}{\sqrt{5}}$
peut s'écrire plus simplement $\sqrt{5}ln\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
j'attends un peu pour donner ma démonstration qui ne fait pas appel aux logiciels !
l'intégrale de la même expression initiale mais sur les bornes 0 et +oo est classique
et FdP en donne une bonne démonstration dans le cas général
mais à ma connaissance l'intégrale paramétrée $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^n+1}$
ne peut être explicitée directement et simplement en fonction de n
Cordialement.
la dernière intégrale évoquée dans mon propos précédent comportait les bornes 0 et 1
merci.