Point de rebroussement dans une variété?
Bonjour
J’espère que ma question n'est pas stupide, mais cela me taraude à chaque fois que je revois la définition (hors sous-variété de $\mathbb{R}^n$) des variétés différentielles.
Pour mieux m'expliquer je vais prendre l'exemple de l'image $\mathcal{C}$ de la courbe courbe paramétrée $f : t \in I \mapsto (t^2,t^3)$.
Sous variété du plan ? Pour $I$ intervalle ouvert ne contenant pas $0$, il s'agit bien d'une sous-variété du plan. Alors que dans le cas contraire on montre, en utilisant la caractérisation par plongement et en montrant qu'une éventuelle immersion ne peut exister en $(0,0)$, que cette ensemble n'est pas une sous-variété du plan. On trouvera les détails ici par exemple : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/geo/geodiff&type=fexo. Tout cela me semble clair.
Par contre si on cherche à vérifier en utilisant directement de définition de variété différentiel quelque chose me perturbe.
On considère le cas $I=\mathbb{R}$. En tant qu'image d'un homéomorphisme avec $\mathbb{R}$ il est immédiat que $\mathcal{C}$ est une variété topologique. Si on considère la famille d'atlas des atlas compatibles avec l'atlas constitué de la carte $g : (x,y)\in\mathcal{C}\mapsto y^{1/3}$, il me semble que $\mathcal{C}$ remplit toutes les conditions pour être une variété. Pas besoin de vérifier le critère de différentiabilité des changements de carte vu qu'il n'y en a qu'une. Alors peut-être que $\mathcal{C}$ est une variété sans être une sous-variété du plan mais quelque chose me dit que je fais une erreur quelque part.
Plus précisément ma surprise viens du fait qu'aucune condition de différentiabilité n'intervient sur les parties des variétés non recoupées des atlas dans la définition générale des variétés, alors que ces conditions interviennent dans le cas des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$.
D'avance je vous remercie pour vos éclaircissement,
On considère le cas $I=\mathbb{R}$. En tant qu'image d'un homéomorphisme avec $\mathbb{R}$ il est immédiat que $\mathcal{C}$ est une variété topologique. Si on considère la famille d'atlas des atlas compatibles avec l'atlas constitué de la carte $g : (x,y)\in\mathcal{C}\mapsto y^{1/3}$, il me semble que $\mathcal{C}$ remplit toutes les conditions pour être une variété. Pas besoin de vérifier le critère de différentiabilité des changements de carte vu qu'il n'y en a qu'une. Alors peut-être que $\mathcal{C}$ est une variété sans être une sous-variété du plan mais quelque chose me dit que je fais une erreur quelque part.
Plus précisément ma surprise viens du fait qu'aucune condition de différentiabilité n'intervient sur les parties des variétés non recoupées des atlas dans la définition générale des variétés, alors que ces conditions interviennent dans le cas des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$.
D'avance je vous remercie pour vos éclaircissement,
Loïc.
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Réponses
Comme $\cal C$ est homéomorphe à $\Bbb R$ (en tant que sous-espace topologique de $\Bbb R^2$), tu peux la munir d'une structure de variété différentielle compatible avec cette topologie. Par exemple avec la carte $(x,y)\mapsto y^{1/3}$ comme tu l'as dit. Et alors l'injection ${\cal C}\to \Bbb R^2$ est même de classe $\mathcal{C}^\infty$. En revanche, cet atlas n'en fait pas une sous-variété de $\Bbb R^2$.
Il y a un phénomène un peu analogue en topologie. Soient $E:=[0,1]$ muni de la topologie discrète et $F:=\Bbb R$ muni de sa topologie usuelle ($E$ est l'analogue de $\cal C$ et $F$ est l'analogue de $\Bbb R^2$ dans cet exemple). $E$ et $F$ sont des espaces topologiques, $E\subset F$, et l'injection $E\to F$ est continue. Mais $E$ n'est pas un sous-espace topologique de $F$ car la topologie trace de $F$ sur $[0,1]$ n'est pas la topologie discrète.
Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par "les parties des variétés non recoupées des Atlas".
@Homo Topi : Le théorème de Whitney dit qu'il existe un plongement $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ (je conserve la structure de variété différentielle sur $\cal C$ que Loïc a donnée, i.e. la carte $(x,y)\mapsto y^{1/3}$). Par exemple, dans notre cas, $(x,y)\in\mathcal{C} \mapsto (0,y^{1/3}) \in\Bbb R^2$ est un plongement $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$. Mais le théorème ne dit pas que toute injection continue $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ qui est un homéomorphisme sur son image (on pourrait appeler ça un "plongement topologique") est un plongement (différentiel celui-là du coup). Par exemple l'injection canonique $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ n'est pas un plongement. La nuance est donc grosso modo un quantificateur $\exists$ vs $\forall$ et il n'y a évidemment pas de contradiction.
Je vous remercie tous pour vos réponse.
Il faut donc bien faire confiance aux définitions !
Donc si je comprend bien, la structure de variété différentielle en tant qu'espace topologique métrisable séparé, localement homéomorphe à $\mathcal{R}^n$ et muni d'un atlas est d'avantage caractérisée par la "structure de son atlas" (la façon dont il se recoupe etc...) de référence que l’éventuel forme qu'il pourrait adopter au sein d'un espace qui le contiendrait ?
Loïc