Mon cher pappus, toujours pessimiste...j'observe aussi que tout semble allez dans le mauvais sens sous l'impulsion de la soi disant ''élite'' qui nous dirige ...mais il y a la Vie de la Géométrie i.e. son intériorité voire son âme que nous aimons tant... Je vais maintenant rédiger ma preuve sur mon site..
Pour être complet ... et sans doute plus lourd 😉 Un corolaire BD DC = AB AC DF / AF = AD DF ⇒ AB AC = AD AF (par similitude des ΔABD et ΔAFC) (ou par lemme de Thanasis Gakopoulos pour toute A-cévienne étendue au cercle circonscrit : AF sin α = b sin α₁︎ + c sin α₂︎ avec α₁︎ = α₂︎ = α/2) Comme sin a/2 / sin a = 1 / (2 cos a/2) on peut rajouter cos α/2 = ½ (AB + AC) / AF On notera aussi DF/DC = BD/AD (par similitude des ΔABD etΔCFD) Une petite contribution à une géométrie qui n'est plus enseignée ... dans le microcosme francophone.
Bonjour, il y a cette façon trigonométrique, par les valeurs des angles inscrits on a que $DC=\lambda DA$ est $DF=\lambda DB$ (triangles semblables). En notant $AD=x$, $\hat{BAD}=\alpha$ et $\hat{BDA}=\theta$, on a que $DB=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\alpha)+\tan(\theta))\cos(\theta)}$ élémentairement en menant une hauteur et simplifiant les formules trigonométriques. Et de l'autre côté si $\hat{DAC}=\alpha$, $DC=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}.$ Soit $\lambda=\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}$. Le rapport est équivalent (par la loi des sinus dans $BAD$) à $\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{AD}{FD}+1=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$ ou bien $$\dfrac{\tan(\theta)^2\cos(\theta)^2+(1-\cos(\theta)^2)\tan(\alpha)^2}{\tan(\alpha)^2}=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$$ qui est vrai. Inversement si $\hat{DAC}\neq \alpha$, $\lambda$ change ainsi que $\dfrac{AF}{FD}$ contradiction.
Pour une approche trigonométrique, il est intéressant d'utiliser les formule sans (AD) ou dans le cercle circonscrit (AD -> AF) donnant la A-cévienne en fonction des côtés AB et AC du triangle et de l'angle α partagé en deux par cette cévienne
(sin α )/ d = (sin α₁︎)/b + (sin α₂︎)/c AF (sin α) = b (sin α₁︎) + c (sin α₂︎) [Gakopoulos]
Pour vraiment être complet, je rajoute un lemme de Thanasis Gakopoulos (qui intéresse sans doute JL Ayme) et une égalité trigonométrique que j'ai déduite d'un autre lemme de Thanasis Gakopoulos pour toute cévienne: sin α AF = sin α₁︎ AC + sin α₂︎ AB à ne pas confondre avec sin α / AD = sin α₁︎ / AC + sin α₂︎ / AB
Réponses
1) Ici, on parle français.
2) Qu'as tu fait ? qu'est ce qui te bloque ?
Cordialement,
Rescassol
ce n'est pas pareil
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329758/un-rapport
Edit
vos relations sont toujours intéressantes...surtout la dernière...
Sincèrement
Jean-Louis
toujours pessimiste...j'observe aussi que tout semble allez dans le mauvais sens sous l'impulsion de la soi disant ''élite'' qui nous dirige ...mais il y a la Vie de la Géométrie i.e. son intériorité voire son âme que nous aimons tant...
Je vais maintenant rédiger ma preuve sur mon site..
Toutes mes amitiés
Jean-Louis
Jean-Louis
Un corolaire
BD DC = AB AC DF / AF
= AD DF
⇒ AB AC = AD AF
(par similitude des ΔABD et ΔAFC)
(ou par lemme de Thanasis Gakopoulos
pour toute A-cévienne étendue au cercle
circonscrit :
AF sin α = b sin α₁︎ + c sin α₂︎
avec α₁︎ = α₂︎ = α/2)
Comme sin a/2 / sin a = 1 / (2 cos a/2)
on peut rajouter
cos α/2 = ½ (AB + AC) / AF
On notera aussi
DF/DC = BD/AD
(par similitude des ΔABD etΔCFD)
Une petite contribution à une géométrie qui n'est plus enseignée ... dans le microcosme francophone.
par les valeurs des angles inscrits on a que $DC=\lambda DA$ est $DF=\lambda DB$
(triangles semblables).
En notant $AD=x$, $\hat{BAD}=\alpha$ et $\hat{BDA}=\theta$, on a que $DB=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\alpha)+\tan(\theta))\cos(\theta)}$ élémentairement en menant une hauteur et simplifiant les formules trigonométriques.
Et de l'autre côté si $\hat{DAC}=\alpha$, $DC=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}.$ Soit $\lambda=\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}$.
Le rapport est équivalent (par la loi des sinus dans $BAD$) à $\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{AD}{FD}+1=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$ ou bien $$\dfrac{\tan(\theta)^2\cos(\theta)^2+(1-\cos(\theta)^2)\tan(\alpha)^2}{\tan(\alpha)^2}=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$$ qui est vrai.
Inversement si $\hat{DAC}\neq \alpha$, $\lambda$ change ainsi que $\dfrac{AF}{FD}$ contradiction.
(sin α )/ d = (sin α₁︎)/b + (sin α₂︎)/c
AF (sin α) = b (sin α₁︎) + c (sin α₂︎) [Gakopoulos]
sin α AF = sin α₁︎ AC + sin α₂︎ AB
à ne pas confondre avec
sin α / AD = sin α₁︎ / AC + sin α₂︎ / AB