Conjecture sur les pavages d'or

Cela fait penser aux pavages de Penrose avec les fléchettes et les cerfs-volants. La page wiki mentionne en premier tes pavages avec les triangles d'or et comment on peut réaliser un pavage de Penrose de type zéro en six étapes. L'univers de ces pavages est immense et a été aussi très étudié.

En tout cas elle est plausible cette conjecture et très jolie. M'est avis qu'elle est démontrable et que le nombre minimum de transformations élémentaires pour passer d'une configuration à une autre doit pouvoir être borné par quelque chose dépendant de l'aire exprimée en DCP. D'où l'idée d'une démonstration par récurrence.

Dans mon dessin, j'ai tracé en bleu les traits qui étaient communs aux 2 dessins.
La première chose qu'on peut constater (et essayer de démontrer ?), c'est qu'on n'a pas de configuration comme celle-ci : 

On n'a pas de trait bleu 'en impasse', chaque trait bleu est une partie d'un contour. 

Le 2ème point, c'est que toutes les zones délimitées par des traits bleus sont convexes.  

Ca reste des sous-conjectures, je n'ai aucune démonstration. Mais démontrer ces  2 sous-conjectures peut faire avancer le dossier.

Tu demandais des démonstrations, ou des contre-exemples, je ne sais pas si tu auras des démonstrations, mais je pense que tu n'auras pas de contre-exemple.

Bonjour

Une idée sans doute très bête mais en affinant la trame , on a affaire à deux coloriages de la même grille .

Domi 

Je propose de nommer les 2 triangles de base différemment.
$T_0$ : le triangle de surface $1$, avec les angles $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 3\frac{\pi}{5} )$ 
$T_1$ : le triangle de surface $\varphi$, avec les angles $(2\frac{\pi}{5} ,2\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{5} )$ 

Pourquoi ? 
Le triangle $T_k$ a pour surface $\varphi^k$
Ici, on a les 2 premiers triangles de cette suite, mais on peut définir cette suite pour tout entier $k$

Les triangles d'indice $k$ pair sont semblables au triangle $T_0$ : isocèle, avec un sommet d'angle $3\frac{\pi}{5} $ 
Et les triangles d'indice $k$ impair sont semblables au triangle $T_1$ 

Tous les triangles dans les figures proposées par Jelobreuil sont des triangles de cette suite. et plus généralement, tout triangle formé en combinant les 2 triangles de base sont forcément des triangles de cette suite. 

Idem, travailler sur les trapèzes isocèles.
Le trapèze de base (celui sur lequel on a le droit de faire une permutation) a la même surface que $T_2$ ; notons le $Z_2$
On peut aisément construire un trapèze isocèle de surface $\varphi^3=2\varphi+1$, avec des angles de $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 4\frac{\pi}{5} , 4\frac{\pi}{5} )$ , qu'on va noter $Z_3$

Et on peut également définir la suite complète de ces trapèzes, en multipliant à chaque étape la surface par $\varphi$
Les trapèzes $Z_0$ et $Z_1$ n'existent pas. 
 
Je définis cette suite de trapèze par souci de cohérence, mais l'utilité me paraît moindre.
On retrouve quelques-uns de ces 'grands' trapèzes dans les figures déjà dessinées.

L'idée serait de déjà démontrer la conjecture sur les triangles et trapèzes de ces 2 suites.

Et bien ce que je dis, c'est que si on note $C_1$ ta conjecture, $C_2$ ma conjecture et $Co$ le corollaire de $C_1$ que tu as donné, on a : 
($C_2$ et $Co$) $\Longleftrightarrow C_1$
En effet, si $C_1$ est vrai alors on peut retrouver le même pavage et donc forcément des traits communs qui séparent la figure en deux. Si $C_2$ et $Co$ sont vrais, alors on peut séparer en morceaux toujours plus petits jusqu'à n'atteindre que des pavages uniformes et donc on aura le même pavage à la fin pour la figure en entier d'après $Co$.
J'ai peut-être mal compris ta conjecture cependant... . Tu dis que c'est vrai pour toute figure construite avec un pavage, ou uniquement pour le pentagone régulier et le parallélogramme arrondi que tu as montré ?

lourrran a dit :
On a 2 pavages différents d'une même forme. On prend tous les segments qui sont communs aux 2 pavages. On constate que ce réseau ne comporte pas de trait en impasse. Tous les traits forment des contours. Ce premier constat est déjà surprenant.

Dans la succession d'étapes proposée ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2372585/#Comment_2372585 et reprise par Bibix, je pense qu'on peut avoir un truc plus visuel.
A l'étape M1, on a un triangle $T_0$ en haut à gauche, qui est déjà dans sa position finale.
Je le dessinerais en pointillé ou quelque chose du genre.
Dès qu'un triangle est commun entre la situation en cours et la situation visée, il ne bougera plus (c'est une conjecture, a priori valable si ce triangle est sur la frontière, plus douteux s'il est au centre). Comme il ne bougera plus, je le dessine d'une autre couleur, pour montrer l'avancée.

@jelobreuil si on retourne à 180° la figure, ça ressemble vaguement à un buste. Vu la technicité de ton appellation, je pense qu'on pourrait juste appeler cette forme un buste décagonal, ce sera plus parlant.

Par ailleurs on peut définir une dualité entre les triangles $1$ et $\varphi $ en ce qu'ils sont image l'un de l'autre par l'involution $x\mapsto \varphi/x$ où $x$ est la longueur d'un côté.