Dénombrement, probabilité et boules

OShine · July 2022

$\{2,6,8 \}$ .

Soc · July 2022

Oui. Maintenant il faut bien identifier pourquoi. On décale d'un rang toutes les boules après la numéro 2 pour garder la place 3 libre et qu'il n'y ait pas 2 puis 3. Ensuite on décale d'un rang toutes les boules après 6 pour ne pas avoir 6,7 etc... C'est pour cela que la première n'est pas décalée, la deuxième est décalée 1 fois, la troisième est décalée 2 fois et ainsi de suite. C'est aussi pour cela que quand il y a r boules il ne faut insérer que r-1 décalages.

Pour donner du visuel, {1;2;3;4;5;6;7;8} devient {1;2;*;3;4;5;*;6;7;8} puis en renumérotant {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}. (edit: il y avait une étoile en trop)

Pour visualiser davantage trouve les images de {1;2;7;10;13} et {8;9;10;14}. E et F ici ne sont plus les mêmes, c'est juste pour mieux appréhender comment fonctionne cette bijection dans le cas général.

Une fois ceci intégré, tu peux t'attaquer à la question 2.b avec une subtilité en plus. Cette fois-ci pour F on cherche à choisir 4 boules dont exactement 2 sont consécutives. L'idée est que cela revient à n'en choisir que 3 puisque l'une des 4 sera déterminée. On reprend la notation de JLT, cas 1 c'est la première qui est suivie, cas 2 c'est la deuxième et cas 3 la troisième.
On reprend {2;4;5} dans E, quelle serait son image dans le cas1, dans le cas 2 et dans le cas 3?

OShine · July 2022

Pour {1;2;7;10;13} et {8;9;10;14} tu ne donnes pas $E$ ni $n$ est-ce normal ?

Soc · July 2022

En fait pour cette bijection tu n'as pas besoin de les connaitre pour trouver l'image. Mais disons que {1;2;7;10;13} c'est quand E correspond à en choisir 5 parmi 20, et {8;9;10;14} quand E correspond à en choisir 4 parmi 25.

OShine · July 2022

Je ne comprends pas d'où sortent les 20 et 25.

J'avais déjà pris des exemples pour la question $1$, mais ça ne m'aide pas à résoudre la question 2.b.

lourrran · July 2022

Dans les exercices de L1 (le cours que tu as lu en 15 minutes hier), tu as dû voir des exercices qui ressemblaient un peu. Tu les as faits ?

Soc · July 2022

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2372260/#Comment_2372260

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Ils sortent effectivement de nulle part. C'est juste un exercice pour s'entrainer. Tu choisis 5 boules parmi 20, quelle va être l'image par la bijection de {1;2;7;10;13}. Commence par trouver ces deux exemples, puis traite la question que je t'ai posée juste après.

OShine · July 2022

@lourrran la bijection de la question $1$ n'est pas dans les cours sur le dénombrement.
L'image de {1;2;7;10;13} est $\{1,3,9,13 \}$ et l'image de {8;9;10;14} est $\{8,10,12,17 \}$.
L'image de {2;4;5} est $\{2,5,7 \}$ je ne comprends pas le rapport avec les cas 1, 2 et 3.

Soc · July 2022

Pour les 2 premières questions il y a un petit oubli mais c'est ca.

Pour la deuxième question:
dans le cas 1 {2;4;5} devient {2;3;6;8}
au ralentit ça donne {1;2;3;4;5;6;7}, on insère celle qui succède 2 puis un espace après chacune {1;2;2+;*;3;4;*;5;*;6;7;8}, ensuite on renumérote {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}. Je te laisse faire les deux autres cas.

OShine · July 2022

Je ne comprends rien avec le cas 1.

JLT · August 2022

J'avais une idée différente de celle de Soc pour le cas 1. Si $x_1=x_2-1<x_2<x_3<x_4$ sont des éléments de $\{1,\ldots,49\}$ avec $x_2,x_3,x_4$ deux à deux non consécutifs, alors $x_2<x_3<x_4$ sont des éléments deux à deux non consécutifs de $\{2,\ldots,49\}$.

Mais de toute façon l'exo est trop difficile pour OShine car il demande un peu de prise d'initiative, ce que OShine se refuse souvent à faire.

lourrran · August 2022

Les exercices de dénombrement en général, demandent des prises d'initiatives.
Dans des exercices de dénombrement, on se raccroche souvent à des exercices plus simples, et qu'on sait faire. Puis on adapte.
Il faut avoir fait des exercices plus simples (problème n°1), il faut s'en souvenir (problème n°2), il faut savoir faire le rapprochement (problème n°3) il faut faire des associations d'idées (problème n°4).
Cela donne beaucoup de problèmes, tous bloquants.

Soc · August 2022

@JLT : le problème c'est que tu seras embêté pour le cas 2 avec cette méthode car tu n'es pas "au bord" et tu devras le découper en plusieurs cas. En fait il n'y a aucune différence de traitement entre les 3 cas: on choisit 3 non consécutives parmi 48 et ensuite tu choisis derrière laquelle des 3 tu insères la dernière boule. Du coup le nombre de cas est $3\displaystyle\binom{46}{3}$.

@OShine: C'est que la bijection ne te parle toujours pas. Dans la question 1, est-ce que tu comprends ce que je veux dire en parlant d'insérer un espace ?

JLT · August 2022

Dans le cas 2 je fais $(x_1,x_2,x_3=x_2+1,x_4)\mapsto (x_1,x_2,x_4-1)$.

lourrran · August 2022

Il y a différentes façons de s'approprier cet exercice. Chacun va se raccrocher à une technique qu'il a déjà expérimenté sur des exercices plus simples.
Pour moi, j'imagine bien des exercices où on a 49 personnes qui sont disposées en ligne de manière aléatoire, et on nous demande la proba que Mr et Mme Dupont soient cote-à-cote.
Et je me dis .... si Mr et Mme Dupont ne se lâchent pas la main, s'ils forment une seule entité, ils seront cote-à-cote. Et voilà, j'ai la solution.
J'imagine que d'autres auront d'autres façons d'aborder la question.
Et comme j'ai fait ça des dizaines de fois sur des exercices simples, quand on ajoute cette bijection pour traiter les autres aspects de l'exercice, je peux me débrouiller.
Si on n'a aucun point de repère, si cet exercice est le premier exercice de dénombrement que l'on fait, ou si on reformate son cerveau tous les mois, parce qu'on n'a pas de mémoire du tout, cet exercice est infaisable.

mav1 · August 2022

Bonjour
Oshine, et si tu commençais par prendre des livres 1re et terminale et que tu fasses tous les exercices de dénombrement en rafale...cela te donnera des situations qu'ensuite tu sauras reconnaître dans d'autres contextes.

Soc · August 2022

@JLT: C'est effectivement plus rapide comme cela, mais du coup autant traiter les 3 de cette façon, cela évite de les particulariser et on retombe bien tous les deux sur la même méthode.

@lourrran: Tout à fait, il y a beaucoup de façons d'interpréter ce type de calculs, et je pense qu'il faut "visualiser" pour qu'ils deviennent parlants et du coup plus facilement adaptables à la situation.

De fait je ne connaissais pas ce dénombrement sans consécutifs, et je pense qu'il devrait être traité comme un classique un peu comme le nombre de façons de placer des vêtements dans des tiroirs.

OShine · August 2022

@Soc c'est juste que je ne comprends pas du tout ta méthode ni ce que tu fais avec tous ces nombres et ces symboles. Je ne comprends pas l'histoire d'insérer des espaces.

@JLT pas compris ça signifie quoi le $(x_1,x_2,x_3=x_2+1,x_4) \mapsto (x_1,x_2,x_4-1)$ ni d'où ça sort.

Vous utilisez plein de symboles mais je ne comprends pas à quoi ça correspond.

JLT · August 2022

Laisse tomber, si tu ne comprends toujours pas alors qu'on t'a donné 95% de la solution c'est que la question 2 était trop difficile.

Soc · August 2022

Pour donner du visuel, {1;2;3;4;5;6;7;8} devient {1;2;*;3;4;5;*;6;7;8} puis en renumérotant {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}.

Pour revenir à la question 1, je choisis 3 boules parmi 8. A ce choix là je veux associer un unique choix de 3 boules non-consécutives parmi 10. Je veux donc expliciter la bijection entre E et F (autrement que par la formule que tu as donnée, qui présente exactement la même bijection, mais sans forcément te parler concrètement)

Prenons donc l'exemple concret déjà donnée, je choisis {2;5;6} dans E (3 boules, éventuellement consécutives parmi 8).
Je l'écris autrement {1;2;3;4;5;6;7;8} en indiquant en gras les 3 boules choisies.

Ensuite, pour être certain d'obtenir dans tous les cas 3 boules non consécutives parmi 10, j'insère un vide après la première choisie (ici 2) et après la deuxième choisie (ici 5). Je note ce vide avec un *. Cela donne {1;2;*;3;4;5;*;6;7;8}. Maintenant on a bien choisi 3 boules non consécutives parmi 10, mais il faut les renuméroter pour obtenir des nombres de 1 à 10.

Ensuite je les renumérote donc en partant de la gauche et cela donne dans F {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, autrement dit {2;6;8}.

Est-ce plus clair?

lourrran · August 2022

Je redis :
Il y a différentes façons de s'approprier cet exercice.

- Soit tu t'appropries cet exercice, ça veut dire que tu présentes TA façon d'aborder/simplifier/raccrocher à du connu.
Et dans ce cas, tu seras dans TON univers de confort. Et tu auras une chance de comprendre.

- Soit tu attends que la solution tombe du ciel, et elle tombera avec des trucs que tu n'aimes pas, trop d'oignon, ou trop de poivre, que sais-je.

Mais, pour s'approprier un exercice, il faut avoir fait des exercices plus simples, qui ressemblent. Il faut avoir suivi le programme en commençant par le début, et pas par la fin.
Donc, toi, tu ne peux pas.

OShine · August 2022

@lourrran j'ai passé deux ans sur le programme de MPSI donc c'est faux de dire que je n'ai pas étudié le programme. Le chapitre dénombrement en faisait partie, j'ai du passer 2 semaines dessus minimum.

@Soc oui mais je ne sais pas si ça sert vraiment de rentrer dans ces détails (c'est la question 1 j'ai l'impression que tu la redémontres ? ), je ne vois pas comment en déduire le nombre de cas favorables.
J'ai bien compris que choisir $3$ non consécutives parmi $49$ c'est la même chose que choisir $3$ boules parmi $47$, il y a donc $\binom{47}{3}$ possibilités.
Pourquoi tu choisis les $3$ non consécutives parmi $48$ et pas parmi $49$ ? Il y a $49$ boules...
C'est après avec les $3$ cas que je n'ai pas compris. Pourquoi on doit multiplier par $3$ ensuite ?

@JLT je pense pas que ce soit $95 %$ de la solution ce que tu as donné, peut-être $30 %$. Ensuite tu donnes des symboles mais je ne les comprends même pas.

JLT · August 2022

Je maintiens qu'il ne reste que 5%. Toutes les idées (= l'essence du travail du mathématicien) ont été données, à ce stade un mathématicien considère que la solution a déjà été donnée.

JLapin · August 2022

OShine a dit :

@lourrran j'ai passé deux ans sur le programme de MPSI donc c'est faux de dire que je n'ai pas étudié le programme. Le chapitre dénombrement en faisait partie, j'ai du passer 2 semaines dessus minimum.

Deux semaines à 30 minutes par jour de recopiage de corrigé, ça fait juste 7h de pseudo-travail. Un collégien un peu motivé atteint ce total en une semaine en s'entraînant par exemple sur des épreuves du concours kangourou et il aura progressé bien davantage.

Soc · August 2022

Les dénombrements ne sont plus au programme du lycée?

@OShine Je ne comprends pas pourquoi tu demandes autant d'aide sans te saisir vraiment de tout ce qui t'es proposé. Si tu avais compris les mécanismes de la question 1 tu n'aurais pas eu de difficulté sur la question 2b. Voilà pourquoi je suis revenu dessus. Je voulais, dans un de tes fils où il n'y avait pas trop d'intervenants, voir si j'arrivais à te faire comprendre. Veni vidi perdi.

OShine · August 2022

J'ai compris la question $1$ mais je ne sais pas faire la question $2.b$.
D'ailleurs j'ai résolu $2.a$ en utilisant la question $1$.

@Soc ça arrive comme je l'ai souvent répété il y a des solutions que je ne comprends pas quand je lis des corrigés ou des indications.

On m'a envoyé une solution détaillée en MP, je vais essayer de la comprendre et arrêter de vous déranger.

lourrran · August 2022

Tu dis que tu as passé au moins 2 semaines sur le chapitre des dénombrements.

Un cours, ça s'acquiert dans la durée. Et ça reste dans la mémoire si on pratique régulièrement.
J'ai un bouquin de collège de 1953 sur ma table de travail. A la fin de chaque chapitre, il y a quelques exercices et problèmes sur le chapitre en cours, et il y a aussi quelques problèmes sur les autres chapitres (des révisions, donc). Si tu travailles 2 semaines sur un chapitre, sans faire des exercices d'application toutes les semaines ou tous les mois, ça ne sert strictement à rien.
Et comme en plus, pendant les 2 semaines en question, tu as lu un cours que tu ne comprenais qu'à moitié, ça n'arrange rien.

JLT · August 2022

Voici une liste d'exercices de combinatoire trouvée par hasard sur internet : https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://physique-et-maths.fr/enseignement/terminale_generale/mathematiques_specialites/combinatoire_denombrement/combinatoire_denombrement_exercices.pdf&ved=2ahUKEwj_uJXEu6b5AhWW0oUKHcnkAsE4ChAWegQIIhAB&usg=AOvVaw3Wg_cdSjGVxEEFP_Ok1tjX

Est-ce que tu sais tous les faire ?

OShine · August 2022

@JLT je vais essayer.

Soc · August 2022

En regardant l'exercice 3, je me posais la question pour un train circulaire (un collier donc):
Combien peut-on constituer de colliers différents de n perles en utilisant des perles de p couleurs, sans avoir la même couleur cote à cote?

Je me posais la question en numérotant les perles, c'est à dire sans me soucier de retrouver le même résultat à une permutation circulaire près. Je ne parviens pas à trouver, des idées?

OShine · August 2022

La très jolie solution qui m'a été donnée en MP, et qui repend l'idée de @JLT de partitionner en $3$.
Le chemin est très long avant que j'arrive à faire de tels raisonnements, on voit que c'est un exercice de niveau X-ENS.

Dénombrement, probabilité et boules

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