Ellipse et gudules
Bonjour à tous
Voici un petit problème, autrefois un pont aux ânes pour nos aïeux.
Aujourd'hui, on ne peut plus que se souvenir d'eux et à défaut de rédiger une solution bien improbable, on peut se servir de son logiciel de géométrie dynamique préféré pour essayer de dire quelque chose de sensé à propos de cette configuration.
On se donne une ellipse $\Gamma$ et un point $\Omega$ intérieur à cette ellipse, (juste pour être sûr que tous les points de la configuration sont visibles !).
Un angle droit de sommet $\Omega$, (Pierre dirait un gudule), recoupe l'ellipse $\Gamma$ en $A$, $B$, $C$, $D$.
1° Montrer que lorsque le gudule pivote autour de $\Omega$, les côtés du quadrilatère $ABCD$ enveloppent une conique $\gamma$ de foyer $\Omega$.
2° Caractériser et construire la directrice $\Delta$ de $\gamma$ associée au foyer $\Omega$.
3° Soit $\Omega'$ le second foyer de $\gamma$.
Montrer qu'il existe une transformation (simple?) du plan euclidien telle que $\Omega'=f(\Omega)$.
J'ai mis un point d'interrogation car on se doute que cette transformation a totalement disparu de nos compteurs à une époque analphabète où la seule transformation plane encore vaguement connue reste la transformation identité $id: m\mapsto m$.
Amicalement
pappus
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Réponses
Pas mal pour un début!
Effectivement!
Quant à la construction de $\Delta$, elle est correcte.
C'est la polaire de $\Omega$ par rapport à l'ellipse $\Gamma$.
Il ne te reste plus qu'à trouver avec ton logiciel cette transformation plane $f$ qui, je le pense, va se laisser désirer, un petit bout de temps!
pappus
J'ai trouvé que le rapport de la similitude est $k = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}.$ Les foyers de l'ellipse initiale fixés j'ai tracé le lieu du point de coordonnées $M(a^2/b^2,k)$ lorsque $a$ varie, lieu qui ressemblait furieusement à une hyperbole. Avec l'outil conique par cinq points j'en trouve une équation (très approchée) mais je remarque que les coefficients en $x^2$ et $y^2$ sont presque nuls alors... je les annule ! Et les autres m'ont l'air très proche de $2\sqrt{2}$, je les remplace par ce nombre, et je simplifie pour finalement trouver $xy=x+y+1$ pour équation de l'hyperbole. Je vérifie alors que le point $M$ de départ est bien dessus. Bingo! Un petit calcul donne alors le rapport susmentionné.
Amicalement, Ludwig
Un petit commentaire pour l'instant (qui s'applique à de nombreux autres sujets de géométrie).
Amicalement.
Je vois ce que tu suggères ; dans le repère considéré :
$\Omega (\alpha,\beta)$ en sorte que $\dfrac{\alpha^2}{a^2}+\dfrac{\beta^2}{b^2}<1$ et $A(a\cos\,t,b\sin\,t)$
puis une équation de la droite perpendiculaire à $(\Omega A)$ en $\Omega$ et une équation pour obtenir les points $B$ et $D$.
Enfin une équation de $(AB)$ (ou $(AD)$) à laquelle on applique la théorie des enveloppes qui donnera en principe une équation paramétrique de $\gamma$.
Très franchement je ne me serais jamais lancé dans ces calculs sans ton incitation. Ça sent la galère ...
Je tenterai l’affaire après une bonne nuit.
Amitiés.
Ta deuxième équation donne $Z=-\frac{uX + vY}{u \alpha + v \beta + w}$. Remplacer $Z$ par cette fraction dans l'autre équation donnera forcément un truc imbuvable qui, j'imagine, devra être présenté de façon lisible.. Donc cela doit se simplifier, se factoriser ? Je ne vois absolument pas comment faire cela à la main ! Et mon calcul formel ne donne pas grand chose.. à part une égalité de trois kilomètres de long.
Amicalement.
[Edit] Je n'arrive pas à faire passer le $\LaTeX$
J’ai oublié le signe moins!
Tu vois le niveau mental dans lequel je suis tombé!
Mais tu ferais mieux de t’intéresser au petit problème algébrique que je pose!
Amicalement
pappus
D'où $i(a'-ib')-(c'-id')=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}(\beta+i\alpha)$ et :$$\begin{cases}a'-d'&=\alpha\\b'+c'&=\beta\\b'-c'&=\beta\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\a'+d'&=\alpha\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\end{cases}.$$
Je n'ai pas compris ton petit calcul dans la mesure où les lettres $a$ et $b$ sont déjà prises pour désigner les longueurs des axes de l'ellipse $\Gamma$.
pappus
Par ailleurs, j'ai vérifié que mes deux foyers imaginaires sont bien solutions.
Avec les deux foyers réels, le compte est bon d'après Bézout.
Et comme je l'ai écrit ailleurs, tu m'épateras toujours !
Bien amicalement, JLB
Cordialement, Pierre.
Si l'on suppose que Bob constate que deux des foyers s'écrivent $z_1:1:\overline{z_1}$ et $z_2:1:\overline{z_2}$, cela veut dire que $z_1,z_2$ sont les solutions d'une équation du second degré en $z:t$, tandis que $\overline{z_1},\overline{z_2}$ sont les solutions d'une équation du second degré en $\zeta:t$. Mais alors, les points $z_1:1:\overline{z_2}$ et $z_2:1:\overline{z_1}$ vérifient aussi les équations de Plucker: ce sont les deux autres foyers.
Quand le discriminant change de signe, les appariements entre les $z$ et les $\zeta$ changent: on ne peut donc pas avoir de critère "robuste" pour séparer les foyers visibles des deux autres.
Cordialement, Pierre.