Principe de démonstration / récurrence fractale

de VILLEMAGNE · July 2022

Avis
SHTAM est, semble-t-il, le forum de discussion où des mathématiciens débutants exposent le résultat de leur travail à considérer comme pouvant apporter une lumière supplémentaire au monde des mathématiques.
Tenons-nous le pour dit.

Prologue

Afin de faire avancer le schmilblick, le mathématicien amateur commence par de l'heuristique.

Grand bien lui fasse, car ce n'est pas en restant assis dans son fauteuil à se tourner les pouces, à troller dans SHTAM, à regarder avec condescendance ce petit shtameur en train de labourer le champ du savoir, et tout ceci en se glorifiant des diplômes acquis / baccalauréat scientifique, master, agrégation / que, restant dans cette statique, l'on va activer la dynamique de la recherche fondamentale.

Adoptons plutôt une stature positive, et songeons que le petit Albert, au début de sa vie, salissait ses couches.

Par après, petit Albert est devenu plus grand.

Par instinct, par Einstein, et par Toutatis, il est devenu le Grand Albert qui ne s'encombrait pas l'esprit d'apprendre par cœur la multitude des livres de mathématiques de la grande Bibliothèque.

Non, il s'est dit que les milliards de synapses du cerveau n'arriveraient jamais à se mettre tout ensemble d'accord sur un simple sujet, une simple conjecture, fût-ce celle de Christian Goldbach, celle d'Alphonse de Polignac, ou celle de l'infinitude des nombres premiers jumeaux.

En fait, et c'est maintenant

Louis Gonzague Marquier de Villemagne qui le dit.

"Ouvrez vos esgourdes, fermez le clapet du bonhomme, ou de la bonne femme portant un jugement hâtif, que vous pourriez être !"

En effet, de même que pour fabriquer un mur, il est nécessaire d'avoir au moins deux pierres scellées par un mortier, de même, pour commencer un poème, il faut un premier vers, pour commencer un mur, il faut deux pierres, de même, disé-je, pour commencer un raisonnement,

UNE SYNAPSE suffit.

La synapse, c'est, on va dire, l'intervalle entre deux poteaux.

Chaque poteau est une cellule nerveuse.

Nous avons donc :

(une cellule, une synapse, une autre cellule)

Gardez en tête ce triptyque.

C'est le fondement de TOUTE description analytique.

Nous développerons cette notion au cours de la présentation du principe de démonstration par récurrence fractale.

(En écrivant ces quelques mots, je peux mettre en lumière ce fait qu'ici j'ai déjà un discours "fractal".)

Donc, une synapse suffit.

Mais, comment ce fait-ce ?

Détaillons la façon qui m'a permis d'avancer dans la démonstration de mon premier théorème de génération de nombres premiers.

Façon, de toutes façons ( ! ), qui m'a permis d'avancer dans mon deuxième théorème de génération de nombres premiers, dans l'élaboration de mon nouveau crible de nombres premiers, bref de tout travail productif d'un résultat jusqu'alors inconnu.

C'est la façon de travailler de tout chercheur qui se respecte : la détailler ici serait superfétatoire.

Il suffit, au moment du détail du principe de démonstration par récurrence fractale, d'évoquer la question ; la lumière se fait d'elle-même alors.

Introduction

Rassurez-vous, je ne vais pas " introduire ", car ce serait bavasser inutilement : je développe maintenant.

" J'arrête ici, bien sûr, car je sens que je lasse...

Et démontre la chose avant qu'on ne me chasse. "

Développement

( La suite au prochain post !

Moi je quitte mon poste !

Mon ventre crie famine !

Je vais, je me débine... )

Math Coss · July 2022

Tout ça (attaques en suffisance, procès d'intention, verbiage, calembours éculés) pour ça (rien) ?

Médiat_Suprème · July 2022

Ce n'est pas pour le ça, c'est pour le moi, en tout état de cause, il est temps de voir un psy

troisqua · July 2022

C'était plutôt une récurrence fatale.

gerard0 · July 2022

Eh oui, "ça" ose tout. C'est même à cela qu'on les reconnaît !

Homo Topi · July 2022

Einstein, devenu grand, parlait pour dire quelque chose. On n'a ici pas encore atteint ce stade-là de développement. Un psy semble effectivement être une tentative de solution. Après, je dis ça en ayant lu en diagonale (pour travailler plus efficacement).

lourrran · July 2022

La consultation avec un psy serait probablement très courte.
- Bonjour Monsieur, quel âge avez-vous ?
- 90 ans.
- Au revoir Monsieur, la consultation est terminée.

J'ai en tête d'autres exemples où une consultation chez un psy serait beaucoup plus fructueuse.

Amédé · July 2022

Oui bon... Et puis m**** tout le monde utilise fractal à toutes les sauces... Non. Ensemble fractal= ensemble dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Exemple: l'ensemble de Cantor a une dimension topologique nulle et une dimension de Hausdorff qui vaut $\dfrac{\ln(2)}{\ln(3)}$... La dimension topologique de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot est 1 et sa dimension de Hausdorff est 2 ( Shishikura). Auto similaire, qui se répète à l'infini et ainsi de suite ne font pas un ensemble fractal... Un peu de respect pour les fractals (il y a même un texte d'agreg qui est à côté de la plaque sur le sujet...). Bref, oui un psy s'impose.

Médiat_Suprème · July 2022

Merci Amédé, Le nombre de sites où les fractals sont définis par l'auto-similarité, est indécent.

Dom · July 2022

Vous pouvez répéter la question ?

math2 · July 2022

Effectivement Amédée, je serais curieux que tu nous donne une référence.

Moi j'avais compris que les fractales étaient définies par l'autosimilarité, et que souvent elles avaient une dimension différente, mais que ce n'était pas nécessaire ; c'est en tout cas ce que m'a dit un collègue avec qui je travaille (pas sur ses sujets), et même si lui n'est pas non plus le grand spécialiste de la question, il a un certain nombre de publications sur les fractales donc j'imagine qu'il connaît le sujet.

Si tu penses au même sujet d'agreg que moi, en l'occurrence son auteur est loin également d'être un bizuth en la matière.

L'article sur wikipédia, que du coup tu devrais peut-être ré-écrire s'il est inexact, définit de mémoire en sa première ligne les fractales par l'autosimilarité, et de mémoire il donne ensuite un certain nombre de "caractérisations" dont la formulation fait penser qu'elles ne sont pas équivalentes et donc qu'il y aurait plusieurs points de vue possibles. Il faudrait que j'aille relire cet article, il a peut-être été modifié depuis.

Médiat_Suprème · July 2022

C'est là l'erreur, nulle part dans la définition de fractal, il n'est question d'auto-similarité, cf. le message d'Amédé qui cite la bonne définition.

Cette erreur vient de ce que l'auto-similarité est un moyen simple de construire des objets dont il est "facile" de calculer la dimension de Hausdorff.

Je précise que l'auto-similarité n'est ni nécessaire ni suffisante.

Amédé · July 2022

C'est Mandelbrot lui même qui a donné cette définition. Voir ses livres. C'est aussi sur wikipédia dans caractéristiques comme tu l'as précisé. Par exemple: une droite c'est auto-similaire, le graphe de $x\longmapsto\sin(x)$ aussi, pourtant ce n'est pas fractal.

Évidement on obtient beaucoup ces ensembles comme attracteurs de système de fonctions itérées. Où alors comme frontière de bassin d'attraction de systèmes dynamiques. D’où beaucoup d'exemples d'ensemble auto-similaires.

Aussi, les ensembles de Julia, ne sont pas auto-similaire mais ils le sont presque (voir cours spécialisé de la SMF sur le sujet: rudiments de dynamique holomorphe). Le mouvement brownien n'est pas autosimilaire.

Donc en effet, il n'y a pas de réelle définition arrêtée. Personnellement je prend celle de Mandelbrot car elle est vérifiée systématiquement par tous les fractals. Prendre la définition par auto similarité c'est, je pense, se restreindre qu'à un cas particulier d'ensembles fractals.

Dom · July 2022

N’est-ce pas une définition heuristique ? Ou peut-être une propriété vulgarisée ?

Amédé · July 2022

Laquelle?

Dom · July 2022

Celle « auto-similarité » qu’on pourrait d’ailleurs qualifier de « mise en abyme ».

Calli · July 2022

Bonjour,

Amédé a dit :

Par exemple: une droite c'est auto-similaire, le graphe de $x\longmapsto\sin(x)$ aussi, pourtant ce n'est pas fractal.

Si par "auto-similaire" on sous-entend "auto-similaire à différentes échelles", on exclut le sinus. Mais pas la droite, en effet.

Dom · July 2022

Oui, dans ma tête, mais c’est parce que je n’y connais rien, c’était dans l’idée de différentes échelles.

Sinon, toute courbe est elle-même… non ?
L’idée de « zoom », c’est le truc qu’on entend tout le temps (par des non spécialistes notamment).

Riemann_lapins_cretins · July 2022

Cette mode qui consiste à faire passer les grands génies pour des quasi-ignares désinvoltes qui ne s'encombraient pas des théories qui les ont précédés est franchement gênante. Tout autant que le cliché du scientifique, son exact opposé, qui serait forcément "une tête mal faite" sous prétexte qu'il a "une tête bien pleine".
Personne n'encombre sa mémoire avec des encyclopédies apprises à la formule près.

Soc · July 2022

Pour le néophyte que je suis, les fractales (je les préfère féminines) sont aussi définies par auto-similarité. Je peux facilement accepter que la définition mathématique soit autre, mais j'ai toujours du mal avec le ton condescendant, en particulier quand le vocabulaire scientifique prend le parti de créer des faux amis avec le vocabulaire vulgaire. À mes yeux c'est aux scientifiques de choisir leur vocabulaire de façon à coller à l'usage, sauf à vouloir s'auto-glorifier en restant les rares détenteurs du savoir.

Médiat_Suprème · July 2022

Fractal est un mot forgé par le mathématicien Benoît Mandelbrot où est la confusion avec le "vulgaire" ; vous devez avoir beaucoup de mal à vous relire,

Et comme le dit le wiki anglais : Many fractals appear similar at various scales

Soc · July 2022

J'entends. Benoît a défini proprement le mot. La définition propre n'est pas compréhensible sans bagage mathématique donc l'usage la transforme en version vulgarisée. La vulgarité c'est Mal, la Suprématie c'est Bien. OK.

Médiat_Suprème · July 2022

Ben, sur un site de mathématique, on parle de mathématiques, si cela ne vous convient pas, tirez en les conclusions.

Mal nommer un objet, c'est ajouter au malheur de ce monde (Albert Camus)

J'aurais le plus grand respect pour un vulgarisateur, annonçant dès le départ qu'il ne va parler que d'une classe particulière de fractals, les objets auto-similaires (surtout s'il mentionne la droite), mais comment apprécier un texte qui commence par une chose fausse ?

Soc · July 2022

"Si tu ne penses pas comme moi, va-t-en." Ce bel accueil fait effectivement fuir certains, pas nécessairement les shtameurs. Je te laisse à ton égo.

Médiat_Suprème · July 2022

Comment apprécier un texte qui commence par une chose fausse ?, Vous venez de le démontrer : on ne peut pas, court mais efficace, Bravo.

Riemann_lapins_cretins · July 2022

La "vraie" définition a l'avantage d'expliquer son étymologie et d'amener une conversation avec un mathématicien chevronné aussi bien qu'avec un profane.

De là à cracher sur la définition plus vulgarisée c'est dommage, mais c'est dommage aussi de se contenter de celle-ci lorsqu'avec quelques minutes devant soi on peut comprendre l'autre.

Même si c'est une technique de pub un peu vulgaire, l'idée d'un "objet ayant une dimension entre 2 et 3" au sens de la multiplication de sa "longueur" par rapport à sa "taille" m'intriguerait, même sans avoir touché aux maths de ma vie.

Soc · July 2022

J'ai fait une démonstration dans shtam, je mérite une médaille! Pour ceux qui ne veulent que du Vrai, quelle est au juste Leur motivation quand Ils viennent lire du shtam...

Médiat_Suprème · July 2022

Cela me fait penser à la lutte de certains agriculteurs qui voulaient vendre leur produit sous le nom de "échalotes", alors que ce n'en était pas, (c'est un oignon en fait) évidemment à la colère des producteurs de vraies échalotes (à juste raison pour différentes raisons) leur argument principal étant que les "chefs" auxquels ils avaient présenté leur produit en avait été satisfaits (ce qui n'en fait pas une échalote pour autant) ! La justice avait tranché (intelligemment) et on trouve aujourd'hui des échalotes et des échalions, je n'ai rien contre les échalions, tant qu'on n'essaye pas de me faire croire que ce sont des échalotes.

math2 · July 2022

En tout cas, pour la première fois, en lisant Shtam, j'ai appris quelque chose. Merci Mediat_Suprème.

Homo Topi · July 2022

Soc a dit :

À mes yeux c'est aux scientifiques de choisir leur vocabulaire de façon à coller à l'usage, sauf à vouloir s'auto-glorifier en restant les rares détenteurs du savoir.

Je ne suis pas d'accord du tout. Les scientifiques traitent de choses hautement complexes *entre eux*, il est plus important qu'ils sachent *entre eux* de quoi ils parlent, et donc qu'ils choisissent un vocabulaire qui *leur* parait adapté. Le but étant de faciliter la communication entre spécialistes pour faciliter la recherche (et la trouvaille). Je pense qu'il est toujours mieux d'écouter un minimum ceux qui réfléchissent à une question pour comprendre leurs décisions. L'ignorance moyenne de la personne lambda, prise isolément ou sous la forme d'opinion publique, est mauvaise conseillère en général.

Soc a dit :

Pour ceux qui ne veulent que du Vrai, quelle est au juste Leur motivation quand Ils viennent lire du shtam...

Pour ma part, j'admets volontiers que je viens ici pour m'amuser aux dépens des novices qui ont l'arrogance de croire qu'ils ont le pouvoir et/ou le devoir d'apprendre les vraies mathématiques aux vrais mathématiciens. Et toi, que fais-tu dans Shtam ?

Soc · July 2022

Soc a dit :

Je peux facilement accepter que la définition mathématique soit autre, mais j'ai toujours du mal avec le ton condescendant

Alors on est d'accord, entre eux c'est important, en dehors il ne sont pas obligés d'être méprisants. L'éducation à la française n'a pas que des avantages...
Pour ma part je viens ici par curiosité, pas pour me sentir supérieur.

Médiat_Suprème · July 2022

Pour vous, corriger une mauvaise définition en donnant la bonne, c'est être condescendant, dans ce cadre, j'assume pleinement !

math2 · July 2022

Ah bah moi je t'ai remercié !

Médiat_Suprème · July 2022

[Utilisateur supprimé] · July 2022

Médiat_Suprème a dit :

Pour vous, corriger une mauvaise définition en donnant la bonne, c'est être condescendant, dans ce cadre, j'assume pleinement !

C'est fait exprès que la phrase soit auto-référente (enfin je sais pas si c'est le bon mot et je prends le risque de ne pas me faire comprendre) ?

Médiat_Suprème · July 2022

C'est vrai que cette phrase pourrait-être considérée comme la définition de "condescendant" (mais elle serait insuffisante) et donc serait auto-référente (j'auto-réfère depuis fort longtemps

), voir ma signature.

Math Coss · July 2022

Condescendance et insuffisance, cette fois-ci, tu tiens ton alliance de mots.

Médiat_Suprème · July 2022

Pourtant, condescendance et suffisance vont de pair en général

Homo Topi · July 2022

Personnellement, si c'est "me sentir supérieur" de comprendre pourquoi les absurdités du shtam sont des absurdités parce que, contrairement à un shtameur, moi j'ai fait l'effort de subir jusqu'à réussir les 5 ans de formation (et la dépression profonde qui est venue avec) requis pour avoir le droit de croire en mes capacités, et si c'est "me sentir supérieur" de me prendre le temps de leur expliquer sans condescendance (parce que je le faisais, moi) pourquoi ce qu'ils font ne sont pas des maths correctes, alors, j'affirme. Sans aucune honte, je me sens supérieur à eux, parce que je le suis, et parce que je le mérite. Rien à foutre.

Si encore de temps en temps, on pouvait croiser dans shtam un vrai néophyte qui essaie vraiment de faire des maths, s'y prend mal, et accepte vraiment la critique constructive, ce serait différent. Le shtameur habituel, c'est un mélange d'arrogance et d'ignorance à chaque fois. Seules les proportions changent. Et ces gens-là, je le dis sans aucune honte, s'ils OSENT se prétendre mathématiciens à mon égal, je ne me gênerai jamais de leur dire la vérité.

[Utilisateur supprimé] · July 2022

Oui et pas toujours facile de trouver des motifs d'amusements.

Homo Topi a dit :
Pour ma part, j'admets volontiers que je viens ici pour m'amuser aux dépens des novices qui ont l'arrogance de croire qu'ils ont le pouvoir et/ou le devoir d'apprendre les vraies mathématiques aux vrais mathématiciens. Et toi, que fais-tu dans Shtam ?

AD · July 2022

Bon, tout et rien ont été dits dans cette discussion.
Il est temps d'arrêter.
AD

Principe de démonstration / récurrence fractale

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