Justifier théoriquement la pertinence de la conjecture de Legendre

Si tu penses que toutes ces fonctions sont équivalentes y compris le postulat de Bertrand qui n'apporte pas grand chose sur la répartition des nombres premiers entre $n$ et $2n$ , à quoi bon chercher tes résultats empiriques (calculs numériques si cela ne sert à rien... puisque ce serra équivalent à la fonction du TNP et sa fonction asymptotique...)
Calcul numérique ou recherche du nombre de nombres premiers pour une limite $n$ fixée ... tu en as cherché beaucoup, pour te rendre compte que pour un $n$ fixé, ou plusieurs limites $n$ successives avec $n>150$ il y a plus de nombre premiers dans $(n^2 , (n+1)^2$ que dans $\pi{(2(n)^2) - \pi(n^2)}$ ?
Comme tu le dis , pour moi de toute façon $ln(2n) > ln(n)$  même si pour toi, c'est à peu près équivalent ... pourquoi pas, vue le peu de différence lorsque $n$ est très grand .
Ce qui n'est sûrement pas aussi vrai, lorsque tu calcules le nombre de nombres premier entre $1 000 000 ^2$ et $1 000 001^2$ par rapport à $n=1*10^{12}$ et son double...non ? Ou tu penses que c'est équivalent ...
Prenons un petit exemple de limite $n$, Famille de nombres premiers de la forme $30k + 13$ et $n = 100 000^2$ , $n+1 = 100 001^2$ par rapport à n^2 et son double  
résultat  Fam $30k + 13$ : $56 883 199$ nombres $P < n^2 = 10 000 000 000$
résultat  Fam $30k + 13$ : $56 884 244$ nombres $P < (n+1)^2 = 10 000 200 001$ ; soit $1045$ nombres P en plus dans cet intervalle
résultat  Fam $30k + 13$ : $56 883 199$ nombres $P < 10 000 000 000 = n^2$ ,  on est ok ?
résultat  Fam $30k + 13$ : $110 276 866$ nombres $P < 20 000 000 000 = 2n^2$ ,  on est ok ? soit $53 339 667$ nombres P en plus dans cet intervalle.
Voilà comment je fais !
Pour te dire que : $1045$ est plus petit que $53 339 667$ ;  et ce n'est que pour une Famille de nombres premiers, sur les 8 Fam de cet ensemble de nombres premiers inférieur à $10 000 000 000$ ou $20 000 000 000$ 
Si tu veux t'amuser à calculer pour $n^2 = 1 000 000^2$  le résultat du nombre de nombres premier de ces deux intervalles sont : $9015  < 4 461 746 673$ . C'est quand même loin d'être équivalent... le contraire serait absurde.
Mais tu peux toujours dire que ta fonction asymptotique dis que c'est équivalent ou que le postulat de Bertrand dit qu'il y en a au moins 1....
Ou que l'intervalle $(n^2 , (n+1)^2$ est plus grand que $\pi{(2*(n)^2) - \pi(n^2)}$ Pourquoi pas asymptotiquement ...
Ton cas est différent de quoi  ?
Puisque tu constates que c'est une estimation asymptotique du TNP... non ?  Qui converge vers $1$ , lorsque $n$ tend vers l'infini .
Le seul constat que l'on peut faire, c'est que le nombre de nombres premiers dans l'intervalle $(n^2 , (n+1)^2$ augmente plus doucement lorsque $n$ tend vers l'infini, que dans l'intervalle $\pi{(2*(n)^2) - \pi(n^2)}$ , ce qui est tout à fait normal; étant donné que les intervalles de ces deux estimations ne sont pas du tout les mêmes , alors que c'est la même fonction de l'algorithme, qui crible ces deux limites $n$ fixées.

De rien.

À noter, pour ton info perso : à l'heure actuelle, les minorations de la forme $\pi(x+y) - \pi(x) \gg \frac{y}{\log x}$ avec $y=x^\theta$ se traitent essentiellement par des méthodes de crible.

Autre idée : pour "alléger" l'extrême difficulté de la conjecture de Legendre, Ramachandra (1973) suggéra d'étudier le problème (plus faible, donc, mais relié) de montrer que, pour tout $x$ grand, il existe un entier $n \in \left]x,x+\sqrt x\right]$ ayant un grand facteur premier $p > x^\phi$ où l'exposant $\phi$ est le plus grand possible. Le record actuel est $\phi = 0,7428$, toujours avec des méthodes de crible très évoluées.