Justifier théoriquement la pertinence de la conjecture de Legendre
Bonjour,
je lance cette discussion car je cherche en ce moment une justification rigoureuse et non-probabiliste de la conjecture de Legendre (sans vouloir la démontrer car j'ai bien le sentiment de ne pas en être capable). Si possible sans que l'explication soit conditionnée par une hypothèse du genre Lindelöf. Je suis tombé sur un argument asymptotique qui dit que le nombre de nombres premiers entre $n^2$ et $(n+1)^2$ devrait être asymptotiquement équivalent à $\frac{n}{\ln(n)}$, mais les manières de justifier cela ne m'ont pas convaincu.
J'ai réussi récemment à démontrer que (pour $N_n$ le nombre de nombres premiers entre $n^2$ et $(n+1)^2$) : $\liminf_{n \to +\infty} ((N_n)\frac{\ln(n)}{n}) \leq 1 \leq \limsup_{n \to +\infty} ((N_n) \frac{\ln(n)}{n})$ (si ça intéresse quelqu'un, le lien est en pièce jointe, mais je vous préviens, c'est vraiment élémentaire comme démonstration). Du coup, $N_n$ "tourne autour" (dans le sens du résultat précédent) de $n/\ln(n)$ asymptotiquement. En particulier, si on suppose que la quantité $(N_n) \ln(n)/n$ converge quand $n \to +\infty$, alors c'est forcément vers $1$, non ? Si c'est vrai, alors je crois que j'ai trouvé mon bonheur (même si cela reste évidemment trop peu pour une démonstration) avec ce résultat.
Enfin bref, ma question est plutôt celle-ci. Est-ce qu'il existe des références qui étudient ce point précis de Legendre ? Je ne parle pas ici d'une référence qui fait des tests numériques, ou autres (car j'en connais), mais bien qui démontre des résultats similaires (et une autre que celle que j'utilise dans ma démonstration) et les interprètent.
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Réponses
Pourquoi ne pas commencer par le nombre de nombres premiers appartenant à $\pi(2n) - \pi(n)$ qui est équivalent à $\frac{n}{\ln(2n)}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Cela se démontre élémentairement et c'est supérieur au nombre de nombres premiers de $\pi(n+1)^2 - \pi(n)^2$.
Tu verras que ta fonction ou estimation asymptotique $N_n \sim \frac{n}{\ln(n)}$ n'est que le résultat approximatif du TNP...
Or cette fonction $\frac{n}{\ln(2n)}$ est quand même inférieur à ta fonction asymptotique ...?
Alors que le nombre de nombres premiers de cette différence $\pi(2n) - \pi(n)$ est quand même supérieur à $\pi(n+1)^2 - \pi(n)^2$...
Tu peux réduire autant que tu veux ces intervalles courts ou chercher des équivalents numériques, faudrait déjà prouver, la conjecture de Legendre avec une fonction asymptotique inférieur à celle du TNP : $\frac{n}{\ln(n)}$ et à celle de son corollaire $\frac{n}{\ln(2n)}$ ...
Et ensuite ....?
Des équivalents numérique sur des intervalles courts , il y en a même par famille $30k + i$ avec $i\in{(1,7,11,13,17,19,23,29)}$ en utilisant ces deux fonctions par famille ...
Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire. Je connais bien le postulat de Bertrand mais comme $(n+1)^2 \sim n^2$, je pense que mon cas est vraiment différent et l'équivalent ne se trouve pas aussi facilement.
Tu sembles faire une objection à l'équivalent que j'ai présenté, mais j'ai rien compris. Comment fais-tu pour savoir que le nombre de nombres premiers dans $(n^2, (n+1)^2)$ est plus petit que $\pi(2 n) - \pi(n)$ ? Et puis de toute façon, on a $\ln(2n) \sim \ln(n)$, non ? Je vois vraiment pas le problème...
Calcul numérique ou recherche du nombre de nombres premiers pour une limite $n$ fixée ... tu en as cherché beaucoup, pour te rendre compte que pour un $n$ fixé, ou plusieurs limites $n$ successives avec $n>150$ il y a plus de nombre premiers dans $(n^2 , (n+1)^2$ que dans $\pi{(2(n)^2) - \pi(n^2)}$ ?
Comme tu le dis , pour moi de toute façon $ln(2n) > ln(n)$ même si pour toi, c'est à peu près équivalent ... pourquoi pas, vue le peu de différence lorsque $n$ est très grand .
Ce qui n'est sûrement pas aussi vrai, lorsque tu calcules le nombre de nombres premier entre $1 000 000 ^2$ et $1 000 001^2$ par rapport à $n=1*10^{12}$ et son double...non ? Ou tu penses que c'est équivalent ...
Prenons un petit exemple de limite $n$, Famille de nombres premiers de la forme $30k + 13$ et $n = 100 000^2$ , $n+1 = 100 001^2$ par rapport à n^2 et son double
résultat Fam $30k + 13$ : $56 883 199$ nombres $P < n^2 = 10 000 000 000$
résultat Fam $30k + 13$ : $56 884 244$ nombres $P < (n+1)^2 = 10 000 200 001$ ; soit $1045$ nombres P en plus dans cet intervalle
résultat Fam $30k + 13$ : $56 883 199$ nombres $P < 10 000 000 000 = n^2$ , on est ok ?
résultat Fam $30k + 13$ : $110 276 866$ nombres $P < 20 000 000 000 = 2n^2$ , on est ok ? soit $53 339 667$ nombres P en plus dans cet intervalle.
Voilà comment je fais !
Pour te dire que : $1045$ est plus petit que $53 339 667$ ; et ce n'est que pour une Famille de nombres premiers, sur les 8 Fam de cet ensemble de nombres premiers inférieur à $10 000 000 000$ ou $20 000 000 000$
Si tu veux t'amuser à calculer pour $n^2 = 1 000 000^2$ le résultat du nombre de nombres premier de ces deux intervalles sont : $9015 < 4 461 746 673$ . C'est quand même loin d'être équivalent... le contraire serait absurde.
Mais tu peux toujours dire que ta fonction asymptotique dis que c'est équivalent ou que le postulat de Bertrand dit qu'il y en a au moins 1....
Ou que l'intervalle $(n^2 , (n+1)^2$ est plus grand que $\pi{(2*(n)^2) - \pi(n^2)}$ Pourquoi pas asymptotiquement ...
Ton cas est différent de quoi ?
Puisque tu constates que c'est une estimation asymptotique du TNP... non ? Qui converge vers $1$ , lorsque $n$ tend vers l'infini .
Le seul constat que l'on peut faire, c'est que le nombre de nombres premiers dans l'intervalle $(n^2 , (n+1)^2$ augmente plus doucement lorsque $n$ tend vers l'infini, que dans l'intervalle $\pi{(2*(n)^2) - \pi(n^2)}$ , ce qui est tout à fait normal; étant donné que les intervalles de ces deux estimations ne sont pas du tout les mêmes , alors que c'est la même fonction de l'algorithme, qui crible ces deux limites $n$ fixées.
Depuis le début des années 2000, Bazzanella a fait plusieurs pas dans la direction de la conjecture de Legendre, à chaque fois en supposant des hypothèses de "moins en moins" contraignantes. Voir [Baz00], [Baz11] et [Baz13]. Dans le dernier article, l'auteur assume une hypothèse sur les zéros de la fonction $\zeta$ de Riemann dont les ordonnées vérifient une certaine contrainte. Cette hypothèse est plus faible que celle de Lindelöf.
Dans une autre direction, Balliet, dans sa thèse [Bal15], montre que, pour tout entier $n \geqslant 1$, l'intervalle $\left[ n^2 , (n^2+1)^{2,000001} \right]$ contient un nombre premier.
Enfin, dans un autre registre pas si éloigné, Cheng montre que, si $x\geqslant e^{e^{15}}$, alors il y a un nombre premier compris entre $x^3$ et $(x+1)^3$. Pour ce faire, l'auteur établit une minoration explicite pour $\psi(x+h) - \psi(x)$ de la forme
$$\psi(x+h) - \psi(x) \geqslant \frac{h}{\log x} \left( 1 - \epsilon(x) \right)$$
valide pour tout $x\geqslant e^{e^{15}}$ et $h \geqslant 3 x^{2/3}$, et où $\epsilon(x)$ est une fonction tendant vers $0$ à l'infini.
Références.
[Bal15] K. Balliet, On the prime numbers in intervals, PhD Thesis, West Xhester, Pennsylvania.
[Baz00] D. Bazzanella, Primes between consecutive squares, Arch. Math. 75 (2000), 29--34.
[Baz13] D. Bazzanella, Primes between consecutive primes and the Lindelöf hypothesis, Period. Math. Hung 66 (2013), 111-117.
[Che08] Y. Cheng, Explicit estimate on primes between consecutive cubes, Rocky Mountain J. Math. 40 (2010), 117--153.
$\pi(x) - li(x) = O(\sqrt{x} \ln(x))$
Mais il me semble que ce dont on aurait besoin pour soustraire les équivalents serait plutôt :
$\pi(x) - li(x) = o(\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)})$
Certes, c'est proche. Mais ce n'est clairement pas suffisant, en tout cas il faudrait faire d'autres manipulation moins naïves qu'une application bête et méchante.
À noter, pour ton info perso : à l'heure actuelle, les minorations de la forme $\pi(x+y) - \pi(x) \gg \frac{y}{\log x}$ avec $y=x^\theta$ se traitent essentiellement par des méthodes de crible.
Autre idée : pour "alléger" l'extrême difficulté de la conjecture de Legendre, Ramachandra (1973) suggéra d'étudier le problème (plus faible, donc, mais relié) de montrer que, pour tout $x$ grand, il existe un entier $n \in \left]x,x+\sqrt x\right]$ ayant un grand facteur premier $p > x^\phi$ où l'exposant $\phi$ est le plus grand possible. Le record actuel est $\phi = 0,7428$, toujours avec des méthodes de crible très évoluées.
Il est quand même amusant de voir que la fonction du TNP qui dit que $\pi(x)$ vaut $\approx\frac{x}{ln\:x}$ ; fonctionne très bien en la modifiant, pour des intervalles plus réduits relatif à cette conjecture.
Par famille de nombres premiers de la forme $30k + i$
Exemple:
Nombre de nombres premiers criblés dans l’intervalle : $(n+1)^2 - n^2$
Estimation asymptotique par Famille ; selon la fonction du TNP , modifiée pour cet exemple :
$\frac{n}{ln\:((2n)^2)} / 4$
Pour la limite du crible : $n² = 100 000 000$ et $(n+1)^2$
Estimation :
$\frac{10000}{ln\:(20000^2)} / 4$ = 126,2182….
Résultat du crible pour l’intervalle fixé :
Fam 1 : 720113 − 719985 = 128
Fam 7 : 720417 − 720270 = 147
Fam 11: 720440−720314 = 126
Fam 13: 720257−720110 = 147
Fam 17: 720361−720225 = 136
Fam 19: 720295−720153 = 142
Fam 23: 720489−720363 = 126
Fam 29: 720162−720033 = 129
Pour la limite n² = 400 000 000 et $(n+1)^2$
Estimation : $\frac{20000}{ln\:(40000^2)} / 4 = 235,9239....$
Résultat du crible pour l’intervalle fixé :
Fam 1 : 2667244 − 2666997 = 247
Fam 7 : 2666886 − 2666629 = 257
Fam 11: 2667353 − 2667085 = 268
Fam 13: 2667671 − 2667426 = 245
Fam 17: 2667696 − 2667448 = 248
Fam 19: 2666663 − 2666398 = 265
Fam 23: 2667416 − 2667167 = 249
Fam 29: 2667413 − 2667174 = 239
et pour aller un peu plus loin, avec $n = 1500000$
Fam 1 : $10263697320−10263684053 = 13 267$
Pour une estimation de $\frac{n}{ln\:((2n)^2)} / 4 = 12571,9764...
Bonne continuation.