Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !
Bonjour à vous,
j'ai besoin d'aide sur une question du sujet d'agrégation interne d'algèbre de 1990.
$E$ désigne un $R$-espace vectoriel de dimension finie non nulle $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $tr(u^p)=0$ pour tout entier $p \in N^*$.
La question est : "prouver que $u$ n'est pas surjectif (on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton)".
Le problème est que je ne vois pas du tout en quoi le théorème de Cayley-Hamilton (qui dit que le polynôme caractéristique de $u$ est annulateur de $u$) va m'aider à prouver la non-surjectivité de $u$.
Je peux seulement dire que : comme $tr(u)=0$, le coefficient devant $X^{n−1}$ du polynôme caractéristique de $u$ vaut $0$ . De même pour les polynômes caractéristiques de $u^2,u^3$ etc.
Donc je suis bloqué et je vous remercie pour votre aide !!!
D'autre part, si jamais quelqu'un sait s'il existe un corrigé de cette épreuve d'algèbre de 1990 (agrégation interne, en ligne ou autre), je lui en serais très reconnaissant !!!
Bonne journée à vous.
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