Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !

NicoLeProf · July 2022

Bonjour à vous,
j'ai besoin d'aide sur une question du sujet d'agrégation interne d'algèbre de 1990.

$E$ désigne un $R$-espace vectoriel de dimension finie non nulle $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $tr(u^p)=0$ pour tout entier $p \in N^*$.
La question est : "prouver que $u$ n'est pas surjectif (on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton)".

Le problème est que je ne vois pas du tout en quoi le théorème de Cayley-Hamilton (qui dit que le polynôme caractéristique de $u$ est annulateur de $u$) va m'aider à prouver la non-surjectivité de $u$.
Je peux seulement dire que : comme $tr(u)=0$, le coefficient devant $X^{n−1}$ du polynôme caractéristique de $u$ vaut $0$ . De même pour les polynômes caractéristiques de $u^2,u^3$ etc.
Donc je suis bloqué et je vous remercie pour votre aide !!!
D'autre part, si jamais quelqu'un sait s'il existe un corrigé de cette épreuve d'algèbre de 1990 (agrégation interne, en ligne ou autre), je lui en serais très reconnaissant !!!
Bonne journée à vous.

Kolakoski · July 2022

On pourrait montrer que $u$ est nilpotent. Si $u$ était surjectif, que pourrait-on dire de $u^k$ (avec $k$ l'indice de nilpotence de $u$) ?

Math Coss · July 2022

Voici un corrigé en libre accès sur http://concours-maths-cpge.fr/.

NicoLeProf · July 2022

Kolakoski a dit :

On pourrait montrer que $u$ est nilpotent. Si $u$ était surjectif, que pourrait-on dire de $u^k$ (avec $k$ l'indice de nilpotence de $u$) ?

Comme $\forall k \in \mathbb{N},\ Im(u^{k+1}) \subset Im(u^k)$, on en déduit que si $u$ était surjectif, $u^k$ serait également surjectif et ce, quel que soit l'entier naturel $k$. Donc pour tout entier naturel $k$, $u^k$ serait bijectif ($u^k$ étant un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie).

Donc $0$ ne serait pas valeur propre de $u^k$ pour tout entier naturel $k$.

Mais je ne vois pas le lien avec le théorème de Cayley-Hamilton. Dans le sujet de 1990, le fait que $u$ soit nilpotent est à démontrer $2$ questions plus loin ! Ce qui me semble étrange hahaha !

NicoLeProf · July 2022

Math Coss

Mille mercis !!! J'ai compris du coup comment on peut y arriver avec le théorème de Cayley-Hamilton !!!

Merci infiniment pour le corrigé !!!

Math Coss · July 2022

Je ne comprends pas l'argument sur les images emboîtées, l'inclusion est dans le mauvais sens pour déduire des choses que l'hypothèse que $\mathop{\mathrm{Im}} u$, la plus grosse des images, est l'espace entier.

NicoLeProf · July 2022

Math Coss a dit :

Je ne comprends pas l'argument sur les images emboîtées, l'inclusion est dans le mauvais sens pour déduire des choses que l'hypothèse que $\mathop{\mathrm{Im}} u$, la plus grosse des images, est l'espace entier.

Ah mince, tu as raison, je ne peux pas conclure que $u^k$ va être surjectif en effet, je me suis sans doute emmêlé les pinceaux !

math2 · July 2022

Moi je passerais sur $\C$. Les sommes de Newton des valeurs propres sont toutes nulles, leurs fonctions symétriques élémentaires aussi du coup, j'en déduis qu'au signe près le polynôme caractéristique est $X^n$ et donc $u$ est nilpotent.

Math Coss · July 2022

Certes mais la nilpotence de $u$ est demandée deux questions plus loin et sans indication, qui plus est dans la première partie du problème, cette voie me paraît hors de portée.