Cardinal d'une intersection de parties
Bonsoir
Je m'intéresse au problème suivant.
Si $m,n \geq 1$ sont deux entiers et $X_1,\ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l'ensemble des parties de $\lbrace 1, \ldots, m \rbrace $, quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=\Big|\bigcap_i^n X_i\Big|$ ?
Il faudrait compter des $n$-uplets de parties d'intersection de cardinal donné mais je ne parviens pas à obtenir d'expression satisfaisante, auriez-vous une idée ?
Merci !
Je m'intéresse au problème suivant.
Si $m,n \geq 1$ sont deux entiers et $X_1,\ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l'ensemble des parties de $\lbrace 1, \ldots, m \rbrace $, quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=\Big|\bigcap_i^n X_i\Big|$ ?
Il faudrait compter des $n$-uplets de parties d'intersection de cardinal donné mais je ne parviens pas à obtenir d'expression satisfaisante, auriez-vous une idée ?
Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J’ai par exemple calculé la probabilité qu’une partie $A$ donnée soit incluse dans l’intersection des $X_i$, mais ensuite, je suis bloqué, car je dois manipuler des événements qui ne sont pas incompatibles, ce qui m’empêche d’avancer.
Je veux bien une petite piste. Merci !
Ca donne une idee du résultat et il est peut-être possible de s’en sortir avec une récurrence, mais je préférerais avoir un raisonnement direct
@MrJ : Soient, pour tous $1\leqslant i\leqslant n$ et $1\leqslant k\leqslant m$, $Z_{i,k} := \mathbf{1}_{X_{i}} (k)$. Étant donnée la loi des $X_{i}$ et leur indépendance, on peut vérifier que les $Z_{i,k}$ sont i.i.d. et de loi $\mathcal{B}( \frac{1}{2} )$. Donc \[\bigg|\bigcap _{i=1} ^{n} X_{i} \bigg| = \sum _{k=1} ^{m} \mathbf{1}_{ \bigcap _{i} X_{i}} (k) = \sum _{k=1} ^{m} \prod_{i=1}^n Z_{i,k}\] est de loi $\mathcal{B}( m , 2^{-n} )$ par produit et somme de v.a. binomiales indépendantes.