Conjecture sur les pavages d'or
Je dois être un peu lourd ... je persiste ... et je vous propose, en fichier joint, une nouvelle conjecture (peut-être vraie conjecture celle-là).
Bonne lecture
Bonne lecture
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
dans toutes mes lectures sur le sujet, je n'ai jamais trouvé une assertion qui pourrait ressembler de près ou de loin à ma conjecture ; je voudrais juste savoir si quelqu'un a déjà lu quelque chose de ressemblant, si quelqu'un peut me donner un contre-exemple ou si quelqu'un peut me trouver une démonstration.
Cela m'importe pour mes activités.
D'autre part, le pavage de Penrose de type zéro en six étapes (vu sur Wikipédia) n'a rien à voir avec mon assertion ; sur l'exemple de Wikipédia, il y a multiplication par phi à chaque étape ; dans mon sujet, il y a seulement déplacement de triangles.
Je pense qu'on peut faire une conjecture un peu plus forte que celle que tu proposes, et paradoxalement, plus simple à démontrer.
Partant des 2 schémas que tu proposes, voici un 3ème schéma.
J'ai mis en bleu les frontières qui étaient communes aux 2 dessins.
J'ai donc divisé le dessin en 11 dessins plus petits.
Je conjecture qu'on peut trouver une succession de modifications élémentaires pour chacun de ces 11 dessins.
En fait, c'est la même conjecture que toi.
Mais ça veut dire : pour passer d'une configuration A à une configuration B, il existerait une succession de modifications élémentaires qui respectent toutes les parties déjà communes entre les 2 dessins.
Et du coup, l'idée de récurrence s'impose vraiment.
Des questions plus techniques en attendant : je suis tout nouveau dans ce forum et j'avoue même que c'est la première fois que je vais dans un forum ... je vais donc faire des erreurs de débutant.
Par exemple, mon premier document était en arithmétique ... mais mon deuxième aussi alors qu'il aurait dû être en géométrie : y-a-t 'il un moyen de le faire basculer en géométrie ? Ou bien dois-je le réécrire en géométrie et terminer celui-là ? J'ai vu des discussions où il était écrit "terminé" mais je ne sais pas comment faire.
Autre chose : la plupart des discussions ont la mention "nouveau" mais pas les miennes ???? Par contre, il y a le symbole "paramètre" à gauche de l'étoile à mes discussions (????)
Je remercie lourran et gerard0 pour les explications concernant LaTex : je vais donc m'y mettre ... et je ne résiste pas à mettre mon premier morceau de LaTex : $\varphi^8$
Les discussions marqués ' n nouveau(x)', ce sont les discussions que as lues, mais il y a eu n nouveaux messages depuis que tu les as lues.
Les discussions sans marquage, c'est parce qu'il n'y a rien de nouveau depuis que tu les as lues.
Les discussions que tu vois avec 'nouveau' ou celles que je vois avec 'nouveau', ce ne sont donc pas les mêmes.
L'icone roue-crantée permet de corriger/modifier un message précédemment envoyé. A utiliser parcimonieusement.
Pour moi, cette discussion est correctement classée dans ce forum 'Arithmétique', mieux qu'en géométrie. Et de toutes façons, s'il fallait la déplacer dans un autre forum, la bonne solution ne serait surtout pas d'ouvrir une nouvelle discussion.
Les administrateurs peuvent déplacer cette discussion si ça s'avère utile.
La première chose qu'on peut constater (et essayer de démontrer ?), c'est qu'on n'a pas de configuration comme celle-ci :
On n'a pas de trait bleu 'en impasse', chaque trait bleu est une partie d'un contour.
Le 2ème point, c'est que toutes les zones délimitées par des traits bleus sont convexes.
Ca reste des sous-conjectures, je n'ai aucune démonstration. Mais démontrer ces 2 sous-conjectures peut faire avancer le dossier.
Tu demandais des démonstrations, ou des contre-exemples, je ne sais pas si tu auras des démonstrations, mais je pense que tu n'auras pas de contre-exemple.
Il y a 2 trapèzes d'aire $4\varphi +3$.
J'envoie aussi le pentagone irrégulier du début de mon texte (avec, indiqué par une flèche, le trait bleu que tu avais oublié ...)
On remarque un truc sur les 2 dessins.
Dans chaque zone délimitée par une frontière bleue, on a $a$ triangles de type $1$ et $b$ triangles de type $\varphi$, avec systématiquement $|a-b| \le 1$
C'est juste une constatation, sur la base d'un échantillon limité (4 dessins, dont 2 configurations seulement), mais j'y crois.
Ce serait un nouveau petit pas.
Pour Lourran : merci pour le nouveau petit pas ...
Voici deux pavages d'un pentagone régulier de côtés $\varphi +2$ et d'aire $20\varphi + 15$ tels qu'il faut 15 modifications élémentaires pour passer de l'un à l'autre.
PS : j'avais fait un petit appel du pied discret (trop discret apparemment !) dans mon dernier texte ; j'explicite ma question : peut-on mettre des couleurs dans le texte d'une discussion ?
Si on supprime ces 15 triangles, on se retrouve avec une couronne constituée de 5 pentagones, avec chacun 2 triangles $1$ et 2 triangles $\varphi$
On constate qu'une des sous-conjecture s'avère fausse : chaque polygone délimité par ces traits bleus n'est pas forcément convexe.
Bon, c'était la sous-conjecture sur laquelle j'avais le plus de doutes, et qui semblait la moins utilisable.
Chacune des autres parties entourées de bleu contient une ou plusieurs modifications internes.
Sur les 7 modifications élémentaires de l'exemple fourni au début de cette discussion, les modifications 1 et 2 sont internes au grand triangle en haut à gauche, les modifications 5 et 6 interviennent dans le trapèze vers la droite, les modifications 3, 4 et 7 interviennent chacune dans un triangle d'aire $\varphi + 1$.
J'ai fait la même chose avec le pentagone régulier de côtés $2\varphi + 1$ ; on voir par exemple que les modifications 7 à 13 interviennent dans le trapèze d'aire $4\varphi + 3$ qui pointe au sommet du pentagone :
Enfin, pour le pentagone régulier de côtés $\varphi + 2$, chacun des 5 pentagones irréguliers d'aire $2\varphi + 2$ contient 3 modifications élémentaires ce qui fait en tout, 15 modifications élémentaires :
À plus !
Avec mes conventions (qui se trouvent dans ce .pdf), ton premier pentagone a pour côté $\varphi$ (et non 1) et pour aire $4\varphi + 3$.
J'en profite pour réitérer ma demande : j'ai pour habitude de marquer les longueurs en noir et les aires en rouge : y-a-t 'il un moyen d'écrire en rouge ?
Autre chose : le dessin ci-dessous semble être un pavage du pentagone que tu proposes différent des 2 tiens.
Une idée sans doute très bête mais en affinant la trame , on a affaire à deux coloriages de la même grille .
Domi
Je trouve que ces pavages du pentagones régulier sont aussi beaux que la conjecture énoncée. Je suis certain que vous y avez déjà pensé, mais je donne quand même l'idée qui me vient à l'esprit en vous lisant.
Je pense que l'appellation "opération élémentaire" est très bien choisie et n'est pas innocente. En effet, un peu comme pour le déterminant d'une matrice qui reste identique quand on lui applique des opérations élémentaires, je crois qu'on peut trouver des invariants par opération élémentaire d'un pavage. Moi je pense à $(n_0,n_1,...,n_p)$ où $n_i$ est le nombre de triangles de même nature $i$ dans une même zone bleue (voir les dessins précédents). Il me semble bien que pour une même zone bleue, ce sera conservé quand on appliquera des opérations élémentaires.
Cela pourrait servir à deux choses :
_ être le $n$ de la récurrence. Par exemple, pour le cas où c'est un pavage qui ne contient que deux types de triangles, j'imagine bien une récurrence forte qui pourrait donner des choses intéressantes.
_ permettre de trouver un contre-exemple. S'il s'avère que c'est bien un invariant, alors il suffit de trouver deux pavages pour lesquels quand on trace les zones bleues, cet invariant est différent. C'est une manière rapide de vérifier que c'est un contre-exemple à la conjecture.
$T_0$ : le triangle de surface $1$, avec les angles $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 3\frac{\pi}{5} )$
$T_1$ : le triangle de surface $\varphi$, avec les angles $(2\frac{\pi}{5} ,2\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{5} )$
Pourquoi ?
Le triangle $T_k$ a pour surface $\varphi^k$
Ici, on a les 2 premiers triangles de cette suite, mais on peut définir cette suite pour tout entier $k$
Les triangles d'indice $k$ pair sont semblables au triangle $T_0$ : isocèle, avec un sommet d'angle $3\frac{\pi}{5} $
Et les triangles d'indice $k$ impair sont semblables au triangle $T_1$
Tous les triangles dans les figures proposées par Jelobreuil sont des triangles de cette suite. et plus généralement, tout triangle formé en combinant les 2 triangles de base sont forcément des triangles de cette suite.
Idem, travailler sur les trapèzes isocèles.
Le trapèze de base (celui sur lequel on a le droit de faire une permutation) a la même surface que $T_2$ ; notons le $Z_2$
On peut aisément construire un trapèze isocèle de surface $\varphi^3=2\varphi+1$, avec des angles de $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 4\frac{\pi}{5} , 4\frac{\pi}{5} )$ , qu'on va noter $Z_3$
Et on peut également définir la suite complète de ces trapèzes, en multipliant à chaque étape la surface par $\varphi$
Les trapèzes $Z_0$ et $Z_1$ n'existent pas.
Je définis cette suite de trapèze par souci de cohérence, mais l'utilité me paraît moindre.
On retrouve quelques-uns de ces 'grands' trapèzes dans les figures déjà dessinées.
L'idée serait de déjà démontrer la conjecture sur les triangles et trapèzes de ces 2 suites.
Pour l'autre série, les trapèzes isocèles $Z_k$, j'ai un problème avec $Z_3$ : je ne trouve pas un tel trapèze d'aire $2\varphi + 1$ !
Je reviens un peu en arrière : l'idée des "traits bleus", elle, me paraît géniale et je crois que c'est de ce côté là qu'il faut se diriger.
Une des idées serait de démontrer déjà la conjecture sur tout triangle.
On voit que chaque triangle $T_i$ se décompose de 2 façons 'triviales' en $T_i = T_{i-1} + T_{i-2}$, et donc, on voit des suites de Fibonacci.
On voit aussi sur ce dessin les triangles $T_0$ et $T_1$ tracés suivant le quadrillage.
Les longueurs ne sont pas vraiment respectées mais, sur les milliers de pavages que j'ai pu dessiner, je n'ai jamais eu de problèmes.
Ci-dessous, un pentagone de côté $\varphi + 1$ et son pavage utilisant le quadrillage :
Si cela peut servir ne serait-ce qu'à une seule personne, je serais ravi.
Soient deux pavages $P_1$ et $P_2$ d'une même figure avec $T_0$ et $T_1$, on peut toujours trouver un enchaînement d'opération élémentaires $E$ tel que si l'on modifie $P_1$ avec cet enchainement, on obtienne un pavage $MP_1$ qui a un ensemble de traits communs avec $P_2$ qui sépare la figure en deux morceaux de manière "consistante avec $(MP_1, P_2)$".
On dit qu'une séparation est consistante avec $(P_1, P_2)$ si les deux morceaux qui sont issus de cette séparation ont tous les deux le même nombre de $T_0$ et de $T_1$ pour les deux pavages $P_1$ et $P_2$. Comme $\varphi$ est irrationnel, c'est une condition nécessaire au fait qu'on puisse itérer sur chacun des morceaux comme tu l'as mis dans ton document initial.
Edit : je pense que la consistance ne sert à rien car si on arrive à séparer une figure en deux, l'aire de chaque morceaux ne dépend pas du pavage donc le nombre de $T_0$ et $T_1$ reste le même quelque soit le pavage dans un même morceau.
Si une figure admet un pavage fait uniquement à l'aide de triangles $T_0$ (respectivement $T_1$), alors elle n'a qu'un seul pavage ; en effet, si elle avait un autre pavage par des triangles $T_0$ (respectivement $T_1$), on ne pourrait pas faire de modifications élémentaires pour passer d'un pavage à l'autre.
($C_2$ et $Co$) $\Longleftrightarrow C_1$
En effet, si $C_1$ est vrai alors on peut retrouver le même pavage et donc forcément des traits communs qui séparent la figure en deux. Si $C_2$ et $Co$ sont vrais, alors on peut séparer en morceaux toujours plus petits jusqu'à n'atteindre que des pavages uniformes et donc on aura le même pavage à la fin pour la figure en entier d'après $Co$.
J'ai peut-être mal compris ta conjecture cependant... . Tu dis que c'est vrai pour toute figure construite avec un pavage, ou uniquement pour le pentagone régulier et le parallélogramme arrondi que tu as montré ?
On a 2 pavages différents d'une même forme. On prend tous les segments qui sont communs aux 2 pavages. On constate que ce réseau ne comporte pas de trait en impasse. Tous les traits forment des contours. Ce premier constat est déjà surprenant.
Et pour répondre à Bibix, la conjecture de Tetpen s'applique à toute forme, pas uniquement les 2 qui ont été illustrées.
Pour une démonstration complète, il faut d'abord expliquer que, si une figure a 2 pavages différents d'aires respectives $a\varphi + b$ et $a'\varphi + b'$, alors $a = a'$ et $b = b'$ (cette partie est enfantine vu que $\varphi$ est irrationnel).
Ensuite il faudrait démontrer que si, pour toute figure d'aire $m\varphi + n$ ayant 2 pavages distincts par $T_0$ et $T_1$, le passage d'un pavage à l'autre peut se faire par une suite finie de modifications élémentaires, alors cela reste vrai pour toute figure d'aire $(m+1)\varphi + n$ ainsi que pour toute figure d'aire $m\varphi + (n+1)$.
Pour $(m+1)\varphi + n$ par exemple, s'il y a un triangle $T_1$ qui a la même position dans les deux pavages, la démonstration est simple mais si aucun triangle $T_1$ n'occupe la même place dans les deux pavages alors ... !!! ???
Où mettre les "traits bleus dans le cas général ?
C'est pour cela que j'ai formulé ma conjecture, il faut d'abord faire apparaitre des traits bleus à l'intérieur de la figure pour l'hérédité.
Par contre, pour les traits bleus, il y a vraiment un problème :
Comme le dit Lourran, voilà une avancée très intéressante !!! ; (
Il s'agit de pavages par des dominos ; voici un exemple de rectangle pavé par des dominos :
Ci-dessous, une modification élémentaire (qui fait passer de $a$ à $b$ ou de $b$ à $a$) :
Ci-dessous, une même forme avec 2 pavages différents notés $1$ et $2$ ; on passe de $1$ à $2$ par 3 modifications élémentaires ($M1$, $M2$ et $M3$) :
Le théorème de Thurston dit que ce passage est toujours possible excepté pour les figures ayant des trous (la forme trouée suivante admet 2 pavages par des dominos notés $3$ et $4$ mais il est impossible de passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires :
Nous avons le même problème avec les pavages d'or ; les 2 pavages de ce pentagone troué montrent qu'on ne peut pas passer de l'un à l'autre :
Il faut donc rajouter comme restriction le fait que la figure pavée n'ait pas de trou pour que la conjecture reste valable.
Merci Bisam !!!
Initialisation : On montre que $G_0$ est vrai, ce qui est équivalent à montrer que $Co$ est vrai. Autrement dit, il faut montrer que tout pavage uniforme de triangles $T_0$ d'une forme quelconque d'aire entière est forcément unique. Pour TetPen, ce cas se traiterait dans l'hérédité, mais on ne pourrait pas y échapper...
A l'étape M1, on a un triangle $T_0$ en haut à gauche, qui est déjà dans sa position finale.
Je le dessinerais en pointillé ou quelque chose du genre.
Dès qu'un triangle est commun entre la situation en cours et la situation visée, il ne bougera plus (c'est une conjecture, a priori valable si ce triangle est sur la frontière, plus douteux s'il est au centre). Comme il ne bougera plus, je le dessine d'une autre couleur, pour montrer l'avancée.
1) Pratique : dans ta dernière intervention, Lourran, tu as écrit "Dans la succession d'étapes proposée ici" puis tu as mis un lien qui ramène à une intervention précédente ; peux-tu me dire comment tu trouves ce lien ; je pense que cela pourra m'être utile par la suite.
2) Pour Jelobreuil :
L'exemple que tu donnes montre 2 pavages d'une même forme (trouée) tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires.
L'exemple ci-dessus montre 2 pavages d'une même forme (trouée) tels qu'on ne peut pas passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires.
Il suffit d'un contre-exemple pour détruire une conjecture.
Je pense qu'il faut donc éliminer les formes trouées si l'on veut que la conjecture marche à tous les coups.
3) A Jelobreuil et Bibix : vous cherchez un nom au décagone cité plus haut ... !!! ??? Décagone de Bibix me plaisait bien !
La date est en fait un lien vers le message en question ; si tu fais clic droit sur la date, tu peux récupérer l'adresse et ensuite la mettre dans ton nouveau message, encapsulée avec l'outil 'url'.
Voici ce que ça donne :
Je n'ai pas résisté à voir ce que cela faisait en partant de la fin et en faisant les modifications élémentaires à l'envers :
A plus !
Je découvre ce joli fil après une très (trop ?) longue absence du forum. Il me semble que tes "modifications élémentaires" sont des réflexions d'axes la médiatrice du segment [BC] d'un triangle ABC isocèle de sommet A et la droite joignant les milieux des côtés parallèles d'un trapèze. Si on peut montrer que 1) il y a un nombre fini de pavages d'or d'aire a et 2) l'action du groupe engendré par ces réflexions sur l'ensemble des pavages d'or de même aire est transitive, on aura gagné.