Changement de probabilité, changement de corrélation
Bonjour,
je me permets de vous poster un exercice sur lequel je suis bloqué depuis plusieurs mois. Et pourtant, cela doit etre la base de la base. Je ne sais pas calculer une espérance visiblement...
Voici l'exercice.
Voici l'exercice.
Soit la nouvelle probabilité bidimensionnelle P’ sous laquelle, par le théorème de Girsanov, ź1 et ź2 sont deux Wiener standard :
dź1 = dz1 avec ź1 (0) = z1(0)
dź2 = dz2 + z1dt avec ź2 (0) = z2(0)
Montrer que E’[dz1] et E’[dz2] (les espérances sous P’ de dz1 et dz2) sont égales à 0, et que V’[dz1] (la variance sous P’ de dz1) est égale à dt.
Je n'arrive pas a montrer que l’espérance sous P' de dz2 vaut 0.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci beaucoup.Pourriez-vous m'aider ?
Christophe.
[Norbert Wiener (1894-1964) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
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Ça n’a pas de sens d’écrire $ \mathbf{E} [ \mathrm{d} Z_1 (t) ] $. On se rappelle que c’est une notation pour compacter un processus d’Ito. Nonobstant on peut se retrouver avec une équation différentielle en définissant $f(t) = \mathbf{E} [ \mathrm{d} Z_1 (t) ] $ et regarder le $\mathrm{d} f$. Et donne-nous la dynamique de $Z_1$ et $Z_2$ et $Z_1', Z_2'$ et leur loi sous $\mathbf{P}$.
---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <--- -
Bonjour,
Je suis désolé mais voila maintenant un long moment que je planche sur cet exercice et je ne suis toujours pas capable de trouver la solution.
J'ai tenté de suivre le conseil de Positif en calculant le df via Itô mais je n'y arrive pas. Je ne sais pas il doit y avoir quelque chose que je ne comprends pas.
Serait-il possible de me montrer la solution ?
merci beaucoup
Christophe -
Je note $\mathbf{E}^2 [X] $ l’espérance sous ta probabilité risque neutre, soit $\mathbf{E}^2[X] = \mathbf{E} [ L_T X]$ si $L_T$ est ta variable aléatoire $\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}^2 }{ \mathrm{d} \mathbf{P} } $.
$\mathbf{E}^2 [ Z’_{1, t} ] = \mathbf{E}^2 [ Z’_{1, 0} ] = \mathbf{E}[L_T Z_{1, 0} ] = 0$
$\mathbf{E}^2 [ Z’_{2, t} ] = \mathbf{E}^2 [ Z’_{2, 0} ] = \mathbf{E}[ L_T \times (Z_{2, 0} + Z_{1, 0} \times 0 ) ] = 0$
Les passages $ \mathbf{E}^2 [ Z’_{i, t} ] = \mathbf{E}^2 [ Z’_{i, 0} ]$ étant justifiés par le fait que sous $\mathbf{P}^2$ les $Z’_i$ sont des martingales.
$\mathbf{E}^2 [ Z’^2_{1, t} ] = \mathbf{E} [ L_T \cdot Z^2_{1, t} ] = \mathbf{E} [ L_T \times ( Z^2_{1, t}– t ) + L_T \times t ] = t$ puisque sous $\mathbf{P}^2, (Z'^2_{1, t} – t)_t $ est aussi une martingale.
---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <--- -
Merci beaucoup, je vais essayer de refaire la demo avec ton aide !
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Bonjour,
J'ai bien réussi grace a ton aide a effectuer la première quesiton.
la seconde aussi qui consitait a calculer d(z1z2), j'ai trouvé (Ito bidimensionnel) que cela fait : z1dz2 + z2dz1.
En revanche, je suis complétement bloqué a la question 3. Serait-il possible de me la donner car impossible pour moi de publier quelque chose, je n'y arrive pas.
Ca a l'air pourtant simple.
la question est la suivante : "Exprimer d(z1z2) uniquement en fonction de ź1 et ź2 sous leurs formes intégrale, simple et différentielle".
Serait-il possible de m'aider la dessus car sans cela je ne peux avancer sur la question suivante qui consiste a évaluer cette SDE précedement trouvé.
merci beaucoup
Christophe -
Bonjour,
je vous propose une solution (qui est a mon sens complétement fausse) mais je n'arrive pas a savoir pourquoi et à trouver mon erreur.
j'essai de répondre à la question : "Exprimer d(z1z2) uniquement en fonction de ź1 et ź2 sous leurs formes intégrale, simple et différentielle" sachant que dź1 = dz1 avec ź1 (0) = z1(0)dź2 = dz2 + z1dt avec ź2 (0) = z2(0).
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bonjour
Désolé d'insister mais si quelqu'un pouvait m'aider sur ce problème. Si cela n'est pas clair, je peux mettre une copie de l'exercice en entier.
Pour moi, il y a quelque chose que je ne comprends pas.
Merci beaucoup
christophe -
Bonjour,Ce que je te conseillerais c'est, comme tu as commencé à le faire, de ne pas traiter l'exercice avec les notations "$dz,\, dt$", et de résoudre l'exercice sous les formes intégrales. Ça te permettra de résoudre certains de tes problèmes en manipulant des objets plus clairs. Par exemple, plutôt que d'exprimer $d(z_1z_2)$, exprime plutôt $z_1(t)z_2(t)$. Au pire tu pourras repasser à la forme différentielle à la fin de tes calculs.Ensuite, ta formule $d(z_1z_2) = z_1dz_2 + z_2dz_1$ est fausse, je te mets plus bas la bonne formule, exprimée sous forme intégrale. Si tu as besoin de plus de détails, tu peux regarder la section "intégration par partie stochastique" dans ton cours, ou sa généralisation qu'est la formule d'Itô.
Enfin, je pense que ce topic a sa place dans la catégorie "probabilités et théorie de la mesure". Ce topic n'est pas nécessairement lié à la finance, et la catégorie finance est moins lue. -
merci beaucoup pour ta réponse. Je regarde cela.
J'ai utilisé la formule Ito pour trouver la formule précédente. Elle est juste car ces des Wienner Standard avec les valeurs en 0 égales à 0 et un coeff de corrélation nul.
J'essai d'avancer. -
BonjourJe suis face à un produit de deux Wienner Standard (valeur initiale nulle et coeff de corrélation nul, ils sont orthogonaux).
J'avais déjà posé une partie de la question dans la rubrique finance, mais cette rubrique est plus propice.leurs définitions sont les suivantes.Soit la nouvelle probabilité bidimensionnelle P’ sous laquelle, par le théorème de Girsanov, ź1 et ź2 sont deux Wiener standard :dź1 = dz1 avec ź1 (0) = z1(0)dź2 = dz2 + z1dt avec ź2 (0) = z2(0)
d(z1z2), j'ai trouvé (Ito bidimensionnel) que cela fait : z1dz2 + z2dz1. (idem à la formule d'intégration par parties stochastique).
Il m'est demandé d'exprimer d(z1z2) uniquement en fonction de ź1 et ź2 sous leurs formes intégrale, simple et différentielle.Je suis complètement bloqué par le z1 dt dans le changement de proba.Voici ce que j'ai écrit, (en gros pas grand chose car je ne le sais pas). Pourriez-vous m'aider à résoudre la question (par forme différentielle ou intégrale).
Merci beaucoup.
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Bonjour
je me permets de vous solliciter de nouveau car le problème à l'air très simple mais je n'y arrive pas.
Si quelqu'un avait la gentillesse de m'écrire la solution ...
Merci beaucoup
christophe -
Encore une fois on ne comprend rien. On t'a demandé trois fois de copier l'énoncé de l'exercice en entier.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Bonjour,
je suis complétement désolé et vous prie de m'excuser. Le voici.Soient deux Wiener standard indépendants z1 et z2 sous P avec z1(0) = z2(0) = 0. 1)Soit la nouvelle probabilité bidimensionnelle P’ sous laquelle, par le théorème de Girsanov, ź1 et ź2 sont deux Wiener standard : dź1 = dz1 avec ź1 (0) = z1(0) dź2 = dz2 + z1dt avec ź2 (0) = z2(0)
1) Montrer que E’[dz1] et E’[dz2] _ les espérances sous P’ de dz1 et dz2 _ sont égales à 0, et que V’[dz1] _ la variance sous P’ de dz1 _ est égale à dt. On accepte sans le démontrer que V’[z2] _ la variance sous P’ de z2 _ est égale à t + t³.
2) En expliquant comment vous faites intervenir le lemme d’Itô bidimensionnel, établir que d(z1z2) = z1dz2 + z2dz1.
3) Exprimer d(z1z2) uniquement en fonction de ź1 et ź2 sous leurs formes intégrale, simple et différentielle.
4) Intégrer sous P’ la SDE de z1z2 trouvée en 3) en faisant apparaître des intégrales de Riemann et d’Itô.
5) En permutant les opérateurs espérance et intégrale, établir que ’[z1z2] sous P’ vaut -½t².
6) À l’aide de ) et 6), calculer la corrélation ρ’(z1,z2) sous P’. Vérifier qu’elle est bien comprise entre -1 et 1
Encore une fois désolé, je n'avais pas bien saisie. Je suis bloqué a la question 3.
Encore merci !Christophe[Norbert Wiener (1894-1964) prend toujours une majuscule. AD] -
Bonjour,est-ce que cela est plus compréhensible ou bien alors, est-ce le sujet qui n'est pas clair du tout ?Merci beaucoup.
Christophe -
Si c'est clair. Maintenant on peut réfléchir tranquillement.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Bonjour,En reprenant mon conseil de faire les calculs sous la forme intégrale, je réécris la réponse à la question 2 sous la forme$$z_1(t) z_2(t) = z_1(0)z_2(0) + \int_0^t z_1(s)dz_2(s) + \int_0^t z_2(s) dz_1(s).$$Ensuite en utilisant le fait que $z'_1(t)=z_1(t)$ et $z'_2(t)=z_2(t) + \int_0^t z_1(s)ds$, et que donc $z_2(t) = z'_2(t) - \int_0^t z'_1(s)ds$, et en utilisant le fait que les valeurs en 0 sont nulles, j'obtiens$$ z_1(t) z_2(t)\quad = \quad \int_0^t z'_1(s) d\left(z'_2(s)+\int_0^s z'_1(r)dr\right) + \int_0^t \left(z'_2(s) - \int_0^s z'_1(r)dr\right)dz'_1(s)$$$$ \qquad = \int_0^t z'_1(s) dz'_2(s)+\int_0^t z'_1(s) z'_1(s)ds + \int_0^t z'_2(s)dz'_1(s) - \int_0^t \left( \int_0^s z'_1(r)dr \right) dz'_1(s)$$$$ \qquad = \int_0^t z'_1(s) dz'_2(s)+\int_0^t (z'_1(s))^2 ds + \int_0^t z'_2(s)dz'_1(s) - \int_0^t \int_0^s z'_1(r)dr dz'_1(s)$$Je te laisse repasser cette dernière égalité sous sa forme différentielle pour répondre à la question.En espérant ne pas avoir fait de faute de calcul...
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Bonjour,
merci beaucoup, je vais reprendre le calcul de ce pas. -
Bonjour Chris,
Est-ce que Var sous $\mathbb{P}'$ de $z_2$ est bien $t + t^3$ ou plutôt $t + \frac{t^3}{3}$ dans l'énoncé ? -
c'est plutôt t + (t^3)/3 dans l'énoncé ? je ne sais pas pourquoi il y a un 3 qui est parti lorsque j'ai effectué le copier coller.
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Si tu as la démonstration, je suis bien sûr prenneur
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Je te laisse chercher un peu d'abord c'est intéressant.
Comment est-ce que tu utiliserais Itô pour réécrire
$\displaystyle \int_{0}^{t}z_1(s)ds$
sous une forme plus aisée pour calculer des lois ? -
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436575/#Comment_2436575
Il faut approximer $\int_0^T W(s) \mathrm{d}s $ par $u_N = \sum_{k=0}^{N-1} W \left(k \frac{T}{N} \right) \frac{T}{N} $, prendre l'espérance de $u_N^2$ et passer á la limite.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <--- -
Merci beaucoup Positif.
J'étais en train de me dire que puisque le ds était "non alétaoire", il suffisait de fixer Z1 à une période et d'intégrer. Mais ca ne fonctionnait pas.
Je vais essayer cette méthode ! -
Ou alors tu peux poser : $ W_{t}t = \int_{0}^{t} s dW_{s} +\int_{0}^{t} W_{s} ds $
On en tire : $\int_{0}^{t} W_{s} ds = W_{t}t - \int_{0}^{t} s dW_{s} $
Puis, partant, $\int_{0}^{t} W_{s} ds = \int_{0}^{t} t - s dW_{s} $
Et on obtient le résultat car l'intégrale stochastique d'une fonction déterministe suit une loi normale centrée de variance
$\int_{0}^{t} (t - s)^{2} ds $.
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