Matrice $4 \times 4$
Bonjour,
Existe-t-il $(a_i)_{i=1,2,3,4} \in \N^4$ et $(b_j)_{j=1,2,3,4} \in \N^4$, tels que il existe une unique matrice $4 \times 4$, $M=(m_{ij})_{i,j=1,2,3,4}$ à coefficients appartenant à $\{1,2,3, \ldots, 9\}$ telle que, quel que soit $i=1,2,3,4$, les nombres de la ligne $i$ sont tous différents (c'est-à-dire $m_{ij} \neq m_{ik}$ si $j\neq k$), et quel que soit $j$, les nombres de la colonne $j$ sont tous différents, et telle que, pour tout $i$, la somme des nombres de la ligne $i$ soit égale à $a_i$, et, pour tout $j$, la somme des nombres de la colonne $j$ soit égale à $b_j$ ?
Merci d'avance.Réponses
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Bonjour,Commence par fixer les $m_{i,j}$ vérifiant tes contraintes "les nombres sur une même ligne/colonne sont 2 à 2 distincts". Ensuite, tu définis $a_i$ et $b_j$ qui collent bien.
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BonjourHeuristique, as-tu compris la question, avant de répondre ? En quoi ton explication permet-elle d'aboutir à un couple de quadruplets donnant une matrice unique ?Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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Ah oui pardon, pourtant le "unique" était en gras... Je file, je me rachète des lunettes chez mon opticien !
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Bonjour,
$a_{1,2,3,4}=b_{1,2,3,4}=10,14,18,22$ ? -
Merci Depasse, mais je trouve au moins deux solutions:$\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&8&6\\4&3&6&9 \end{pmatrix}$et$\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&6&8\\4&3&8&7 \end{pmatrix}$
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Merci Marco.
Ma matrice était
1234
2345
3456
4567
J'ai pigé mon erreur.
As-tu résolu le problème dans le cas $3\times 3$?
Cordialement
Paul -
Oui, dans le cas $3 \times 3$, on choisit $a_{1,2,3}=24,11,10$ et $b_{1,2,3}=10,12,23$. Il n'y a alors qu'une solution.
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Bonjour!
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