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Matrice $4 \times 4$

marcomarco
Modifié (July 2022) dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,
Existe-t-il $(a_i)_{i=1,2,3,4} \in \N^4$ et $(b_j)_{j=1,2,3,4} \in \N^4$, tels que il existe une unique matrice $4 \times 4$, $M=(m_{ij})_{i,j=1,2,3,4}$ à coefficients appartenant à $\{1,2,3, \ldots, 9\}$ telle que, quel que soit $i=1,2,3,4$, les nombres de la ligne $i$ sont tous différents (c'est-à-dire $m_{ij} \neq m_{ik}$ si $j\neq k$), et quel que soit $j$, les nombres de la colonne $j$ sont tous différents, et telle que, pour tout $i$, la somme des nombres de la ligne $i$ soit égale à $a_i$, et, pour tout $j$, la somme des nombres de la colonne $j$ soit égale à $b_j$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • HeuristiqueHeuristique
    Bonjour,
    Commence par fixer les $m_{i,j}$ vérifiant tes contraintes "les nombres sur une même ligne/colonne sont 2 à 2 distincts". Ensuite, tu définis $a_i$ et $b_j$ qui collent bien.
  • PetitLutinMalicieuxPetitLutinMalicieux
    Modifié (July 2022)
    Bonjour
    Heuristique, as-tu compris la question, avant de répondre ? En quoi ton explication permet-elle d'aboutir à un couple de quadruplets donnant une matrice unique ?
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • HeuristiqueHeuristique
    Ah oui pardon, pourtant le "unique" était en gras... Je file, je me rachète des lunettes chez mon opticien !
  • depassedepasse
    Bonjour,

    $a_{1,2,3,4}=b_{1,2,3,4}=10,14,18,22$ ?
  • marcomarco
    Modifié (July 2022)
    Merci Depasse, mais je trouve au moins deux solutions:
    $\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&8&6\\4&3&6&9 \end{pmatrix}$
    et
    $\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&6&8\\4&3&8&7 \end{pmatrix}$



  • depassedepasse
    Merci Marco.

    Ma matrice était
    1234
    2345
    3456
    4567
    J'ai pigé mon erreur.
    As-tu résolu le problème dans le cas $3\times 3$?
    Cordialement
    Paul
  • marcomarco
    Modifié (July 2022)
    Oui, dans le cas $3 \times 3$,  on choisit $a_{1,2,3}=24,11,10$ et $b_{1,2,3}=10,12,23$. Il n'y a alors qu'une solution.
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