Deux événements quelconques

En reprenant l'idée de JLT - que je salue - j'ai bricolé une suite de majorations beaucoup trop longue pour qu'il n'y ait pas une khönnerie hideuse infiltrée dans le retapissage :

On pose \( a := P(A) \), \( b := P(B ) \) et \( c := P(A\cup B ) \). On a alors : \( \boxed{~~P(A\cap B ) = a+b-c.~~} \)

\( \blacktriangleright \) On a :
\begin{align*}
P(A\cap B ) - P(A)P(B ) &= a+b-c - ab\\
&= (1-a)(b-1) + 1-c.\\
\text{Or } b \leqslant c \text{ et } 1-a \geqslant 0 &\text{ donc } (1-a)(b-1) \leqslant (1-a)(c-1)  \text{ et } \\
P(A\cap B ) - P(A)P(B ) &\leqslant (1-a)(c-1) - (c-1)\\
&\leqslant (1-a-1)(c-1)\\
&\leqslant a(1-c)\\
&\leqslant c(1-c) \leqslant \dfrac 14.
\end{align*}
\( \blacktriangleleft \) On a aussi \( c\leqslant 1 \) donc \( -P(A\cap B ) \leqslant -cP(A\cap B ) \), donc
\begin{align*}
P(A)P(B ) - P(A\cap B ) &\leqslant ab - c(a+b-c)\\
&\leqslant ab - ac - c(b-c) \\
&\leqslant a(b-c) - c(b-c) \\
&\leqslant (c-a)(c-b). \\
\text{Or } 0 \leqslant a+b - c \text{ et } c-b \geqslant 0 &\text{ donc } c-a \leqslant b\leqslant c  \text{ et }\\
P(A)P(B ) - P(A\cap B ) &\leqslant b(c-b) \\
&\leqslant b(1-b) \leqslant \dfrac 14.
\end{align*}
On déduit de \( \blacktriangleright \) et de \( \blacktriangleleft \) que \( \max\left(P(A\cap B ) - P(A)P(B )~,~P(A)P(B ) - P(A\cap B )\right) \leqslant \dfrac 14 \), c'est-à-dire :
\[ \boxed{~~|P(A\cap B ) - P(A)P(B )|\leqslant \dfrac 14.~~} \]

e.v.